問題1.1.7
次の行列が交代行列であるように $a,\,b,\,c,\,d$ を定めよ。
（１）$\left[\begin{array}{ccc}0 & 2 c+1 & 3 \\ a & b-2 & c \\ c & d-2 & 0\end{array}\right]$
（２）$\left[\begin{array}{ccc}0 & a+1 & -1 \\ b & 3-b & d \\ 1 & c-1 & c\end{array}\right]$
ポイント
交代行列になるように各成分について連立方程式を立てます。
解答例
（１）$$A=\left[\begin{array}{ccc}0 & 2 c+1 & 3 \\ a & b-2 & c \\ c & d-2 & 0\end{array}\right]$$とすると$$^t\!A=\left[\begin{array}{ccc}0 & a & c \\ 2 c+1 & b-2 & d-2 \\ 3 & c & 0\end{array}\right]$$および$$-A=\left[\begin{array}{ccc}0 & -2 c-1 & -3 \\ -a & -b+2 & -c \\ -c & -d+2 & 0\end{array}\right]$$となるから、
$$\begin{cases}
a=5 \\
b=2 \\
c=-3 \\
d=5
\end{cases}\quad \cdots (\text{答})$$
（２）$$A=\left[\begin{array}{ccc}0 & a+1 & -1 \\ b & 3-b & d \\ 1 & c-1 & c\end{array}\right]$$とすると$$^t\!A=\left[\begin{array}{ccc}0 & b & 1 \\ a+1 & 3-b & c-1 \\ -1 & d & c\end{array}\right]$$および$$-A=\left[\begin{array}{ccc}0 & -a-1 & 1 \\ -b & -3+b & -d \\ -1 & -c+1 & -c\end{array}\right]$$となるから、
$$\begin{cases}
a=-4 \\
b=3 \\
c=0 \\
d=1
\end{cases}\quad \cdots (\text{答})$$