問題2.2.1
次の行列は簡約かどうか判定せよ.また簡約でないものは簡約化せよ。
（１）$\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$
（２）$\left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & -3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$
（３）$\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$
（４）$\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1\end{array}\right]$
（５）$\left[\begin{array}{llll}0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]$
（６）$\left[\begin{array}{llll}0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\end{array}\right]$
（７）$\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]$
ポイント
次の条件 (Ⅰ)～(Ⅳ) を満たすような行列を「簡約な行列」と言います。
(Ⅰ) 行ベクトルのうちに零ベクトルがあれば、それは零ベクトルでないものよりも下にある
(Ⅱ) 零ベクトルでない行ベクトルの主成分は$1$である
(Ⅲ) 第$i$行の主成分をaはとすると、$j_{1}<j_{2}<j_{3}<\cdots$ となる。すなわち各行の主成分は下の行ほど右にある（各成分は右下がり)
(Ⅳ) 各行の主成分を含む列の他の成分は全て$0$である。すなわち第行の主成分が$a_{i j_{i}}$であるならば、第$j_{i}$列の以外の成分は全て$0$である
与えられた行列を基本変形を用いて簡約化します。
解答例
（１）
$\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$
$$\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right] \quad \cdots (\text{答})$$
（２）
$\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & -3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$
$①+② \times (-2)$ より、$$\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & -5 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right] \cdots (\text{答})$$
（３）
$\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$
$③+② \times (-1)$ より、$$\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right] \cdots (\text{答})$$
（４）
$\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1\end{array}\right]$
$② \times \dfrac{1}{2}$ より、$$\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & \dfrac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1\end{array}\right]$$ $②+③ \times \left(-\dfrac{1}{2}\right)$ より、$$\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -\dfrac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & 1\end{array}\right] \cdots (\text{答})$$
（５）
$\left[\begin{array}{llll}0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]$
これは簡約な行列である。
（６）
$\left[\begin{array}{llll}0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]$
$$\left[\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{array}\right] \cdots (\text{答})$$
（７）
$\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]$
$①+② \times (-1)$ より、$$\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \cdots (\text{答})$$