問題2.2.2
2次正方行列のうち、簡約ものは次のものでつきることを確かめよ($*$は任意の数でかまわないことを意味する)。
$\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}1 & * \\ 0 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]$
ポイント
次の条件 (Ⅰ)～(Ⅳ) を満たすような行列を「簡約な行列」と言います。
(Ⅰ) 行ベクトルのうちに零ベクトルがあれば、それは零ベクトルでないものよりも下にある
(Ⅱ) 零ベクトルでない行ベクトルの主成分は$1$である
(Ⅲ) 第$i$行の主成分をaはとすると、$j_{1}<j_{2}<j_{3}<\cdots$ となる。すなわち各行の主成分は下の行ほど右にある（各成分は右下がり)
(Ⅳ) 各行の主成分を含む列の他の成分は全て$0$である。すなわち第行の主成分が$a_{i j_{i}}$であるならば、第$j_{i}$列の以外の成分は全て$0$である
与えられた行列はいずれも条件 (Ⅰ)～(Ⅳ) を満たしています。このことは各自で確かめて下さい。