問題2.2.3
$3$次正方行列のうち、簡約なものを全て求めよ（問2のように任意の数でかまわない成分には$*$を用いよ）。
ポイント
次の条件 (Ⅰ)～(Ⅳ) を満たすような行列を「簡約な行列」と言います。
(Ⅰ) 行ベクトルのうちに零ベクトルがあれば、それは零ベクトルでないものよりも下にある
(Ⅱ) 零ベクトルでない行ベクトルの主成分は$1$である
(Ⅲ) 第$i$行の主成分をaはとすると、$j_{1}<j_{2}<j_{3}<\cdots$ となる。すなわち各行の主成分は下の行ほど右にある（各成分は右下がり)
(Ⅳ) 各行の主成分を含む列の他の成分は全て$0$である。すなわち第行の主成分が$a_{i j_{i}}$であるならば、第$j_{i}$列の以外の成分は全て$0$である
条件 (Ⅰ)～(Ⅳ) を満たすような$3$次正方行列を与えることになります。条件(Ⅲ)に注意して系統的に数え上げると数え漏らしが防げます。
解答例
$\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$、$\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$、$\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & * \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$、$\left[\begin{array}{lll}1 & * & * \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$、$\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$、$\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & * \\ 0 & 1 & * \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$、$\left[\begin{array}{lll}1 & * & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$、$\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$
※ 零行列を忘れがちなので注意しましょう。また、$\left[\begin{array}{lll}1 & * & * \\ 0 & 1 & * \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$といった行列をカウントしてしまう人も多いので要注意です（この行列は2列目で行基本変形が未了なので簡約ではありません）。