問題3.1.2
次の置換を巡回置換の積に分解せよ。
（１）$\left(\begin{array}{lllllll}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 4 & 7 & 6 & 5 & 1 & 2 & 3\end{array}\right)$
（２）$\left(\begin{array}{llllllll}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 3 & 1 & 5 & 8 & 2 & 4 & 6 & 7\end{array}\right)$
ポイント
$$1 \rightarrow k_{1}, 2 \rightarrow k_{2}, \cdots, n \rightarrow k_{n}$$という写像を置換$\sigma$と呼び、$$\sigma=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & \cdots & n \\
k_{1} & k_{2} & \cdots & k_{n}
\end{array}\right)$$のように書きます。ここで下の数字は上の数字の行き先を示しています。
特に $\sigma=\left(\begin{array}{llll}k_{1} & k_{2} & \cdots & k_{r} \\ k_{2} & k_{3} & \cdots & k_{1}\end{array}\right)$ は巡回置換と呼ばれ、$$\sigma=\left(\begin{array}{llll}k_{1} & k_{2} & \cdots & k_{r}\end{array}\right)$$のように上段を省略して表記されます。
同じ文字を含まない巡回置換は交換可能なので、求めた巡回置換の順番を教科書に合わせる必要はありません。
解答例
（１）
$1 \rightarrow 4 \rightarrow 5 \rightarrow 1$、$2 \rightarrow 7 \rightarrow 3 \rightarrow 6 \rightarrow 2$ であるから、$$\left(\begin{array}{llll}
2 & 7 & 3 & 6
\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}
1 & 4 & 5
\end{array}\right) \quad \cdots (\text{答}) $$
（２）
$1 \rightarrow 3 \rightarrow 5 \rightarrow 2 \rightarrow 1$、$4 \rightarrow 8 \rightarrow 7 \rightarrow 6 \rightarrow 4$となるから、 であるから、$$\left(\begin{array}{llll}
4 & 8 & 7 & 6
\end{array}\right)\left(\begin{array}{llll}
1 & 3 & 5 & 2
\end{array}\right) \quad \cdots (\text{答}) $$