問題3.1.6
$n$変数 $x_{1},x_{2}, \cdots, x_{n}$ の多項式 $\varDelta (x_{1}, \cdots, x_{n})$ を$$\Delta\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)=\prod_{1 \leqq i<j \leqq n}\left(x_{i}-x_{j}\right)$$とおき、$n$変数の差積という。$\sigma\,\left(\in S_{n}\right)$ が互換ならば$$\sigma\varDelta (x_{1}, \cdots, x_{n})=-\varDelta (x_{1}, \cdots, x_{n})$$であることを示せ。
ポイント
文中で定義されている「$n$変数の差積」は「ヴァンデルモンド多項式」や「ヴァンデルモンド行列式」とも呼ばれるものです。例えば $\sigma=(i,j)$ という置換を施したとき、積 $(x_{i}-x_{i+1})\cdots(x_{i}-x_{j-1})$ と積 $(x_{i+1}-x_{j})\cdots(x_{j-1}-x_{j})$ は $-1$ 倍すると等しくなります。それ以外の部分は置換によって符号が変化しないので、結局$$\sigma\varDelta (x_{1}, \cdots, x_{n})=-\varDelta (x_{1}, \cdots, x_{n})$$が成立します。
解答例
（省略）
※ 解答は教科書を参照のこと。