問題3.1.7
$\sigma, \tau \in S_{n}$ のとき$$(\sigma \tau) f\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)=\sigma(\tau f)\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)$$を示せ。
ポイント
定義に従って式変形するだけです。
解答例
左辺について、$$(\sigma \tau) f\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)=f\left(x_{\sigma \tau(1)}, \cdots, x_{\sigma \tau(n)}\right)$$が成り立つ。
また、右辺について$$\begin{aligned}
\sigma(\tau f)\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right) &=\sigma f\left(x_{\tau(1)}, \cdots, x_{\tau(n)}\right) \\
&=f\left(x_{\sigma \tau(1)}, \cdots, x_{\sigma \tau(n)}\right)
\end{aligned}$$が成り立つ。
以上より、$$(\sigma \tau) f\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)=\sigma(\tau f)\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)$$が示された。
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