線形代数3.3.3

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 問題3.3.3

定理3.3.3を証明せよ。

 ポイント

定理3.3.3とは以下のようなものでした。

（１）は定数倍、（２）は線形性、（３）は交代性の証明です。

ある行や列を定数倍すれば行列式も定数倍されます。これは以下の変形から説明できます。$$\begin{array}{rl}|A^{\prime }|& =\sum _{\sigma \in S_n}\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\sigma )a_{1\sigma (1)}\cdots \underset{―}{c{a}_{i\sigma (i)}}\cdots a_{n\sigma (n)}\\ & =c\sum _{\sigma \in S_n}\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\sigma )a_{1\sigma (1)}\cdots \underset{―}{a_{i\sigma (i)}}\cdots a_{n\sigma (n)}\\ & =c|A|\end{array}$$

（２）は列と行の両方について言えて、$$\begin{array}{rl}|A|& =\sum _{\sigma \in S_n}\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\sigma )a_{1\sigma (1)}\cdots \underset{―}{(b_{i\sigma (i)}+c_{i\sigma (i)})}\cdots a_{n\sigma (n)}\\ & =\sum _{\sigma \in S_n}\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\sigma )a_{1\sigma (1)}\cdots \underset{―}{b_{i\sigma (i)}}\cdots a_{n\sigma (n)}\\ & +\sum _{\sigma \in S_n}\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\sigma )a_{1\sigma (1)}\cdots \underset{―}{c_{i\sigma (i)}}\cdots a_{n\sigma (n)}\\ & =|B|+|C|\end{array}$$とすることで行列式を分解することができます。

「2つの列を入れ替える」という操作は互換$(ij)$を適用した場合に相当します。置換の積を$$\tau =\sigma (ij)$$と置くと、添字は$$\tau (i)=\sigma (j),\tau (j)=\sigma (i)$$ $$\tau (k)=\sigma (k)(k\ne i,j)$$のように移ります。これより以下のように符号が反転するため、（３）の交代性が説明されます。$$\mathrm{sgn}(\tau )=\mathrm{sgn}(\sigma (ij))=(-1)\mathrm{sgn}(\sigma )$$

（４）は（３）から説明でき、（５）は（２）と（４）から説明できます。

 解答例

（省略）

※（３）については教科書の略解も参照のこと。

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