問題3.4.4
次の行列式を求めよ。
（１）$\left|\begin{array}{llll}
a & 0 & 0 & b \\
c & d & 0 & 0 \\
e & f & g & 0 \\
0 & 0 & h & i
\end{array}\right|$
（２）$\left|\begin{array}{lllll}0 & b & 0 & 0 & 0 \\ a & 4 & 0 & 1 & d \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & c & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 0 & 1 & 1\end{array}\right|$
ポイント
行や列に$0$が多い行列の行列式を求める場合は余因子展開を用いると効率的です。また、余因子展開における符号は次のような表を描いて間違えないようにすると良いでしょう。$$\left|\begin{array}{ccc}
+ & – & + \\
– & + & – \\
+ & – & +
\end{array}\right|$$（これは $3 \times 3$ の場合）
解答例
（１）
$$\begin{aligned}
& \quad \,\, \left|\begin{array}{llll}
\color{red}{a} & \color{red}{0} & \color{red}{0} & \color{red}{b} \\
c & d & 0 & 0 \\
e & f & g & 0 \\
0 & 0 & h & i
\end{array}\right| \\
&=a\left|\begin{array}{lll}
d & 0 & 0 \\
f & g & 0 \\
0 & h & i
\end{array}\right|-b\left|\begin{array}{lll}
c & d & 0 \\
e & f & g \\
\color{red}{0} & \color{red}{0} & \color{red}{h}
\end{array}\right| \\
&=a d g i-b h\left|\begin{array}{ll}
c & d \\
e & f
\end{array}\right| \\
&=a d g i-b h(c f-d e) \\
&=a d g i-b c f h+b d e h \quad \cdots (\text{答})
\end{aligned}$$
（２）
$$\begin{aligned}
& \quad \,\, \left|\begin{array}{lllll}
\color{red}{0} & \color{red}{b} & \color{red}{0} & \color{red}{0} & \color{red}{0} \\
a & 4 & 0 & 1 & d \\
0 & 1 & 0 & 3 & 7 \\
1 & 4 & c & 3 & 2 \\
1 & 2 & 0 & 1 & 1
\end{array}\right| \\
&=b\left|\begin{array}{llll}
a & \color{red}{0} & 1 & d \\
0 & \color{red}{0} & 3 & 7 \\
1 & \color{red}{c} & 3 & 2 \\
1 & \color{red}{0} & 1 & 1
\end{array}\right| \\
&=b c\left|\begin{array}{lll}
a & 1 & d \\
0 & 3 & 7 \\
1 & 1 & 1
\end{array}\right| \\
&=-bc(4a+3d-7) \quad \cdots (\text{答})
\end{aligned}$$