線形代数4.3.4

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 問題4.3.4

次の行列の階数 $r$ を求めよ。また $r$ 次の正則な小行列を１つ求めよ。$$\left[\begin{array}{rrrrr}1& 2& 4& 3& 1\\ -1& 1& -1& 0& 0\\ -2& -1& -5& -3& -1\\ 1& -1& 1& 0& 2\end{array}\right]$$

 

 ポイント

前問を踏まえて解答します。まずは与えられた行列を簡約化します。

 

 解答例

与えられた行列を簡約化すると、$$\overline{)\begin{array}{ccccc}1& 2& 4& 3& 1\\ -1& 1& -1& 0& 0\\ -2& -1& -5& -3& -1\\ 1& -1& 1& 0& 2\\ 0& 3& 3& 3& 1& \mathrm{①}+\mathrm{②}\\ -1& 1& -1& 0& 0\\ 0& -3& -3& -3& -1& \mathrm{③}+\mathrm{②}\times (-2)\\ 0& 0& 0& 0& 2\\ 0& 3& 3& 3& 1\\ 1& -1& 1& 0& 0& \mathrm{②}\times (-1)\\ 0& 0& 0& 0& 0& \mathrm{③}+\mathrm{①}\\ 0& 0& 0& 0& 1& \mathrm{④}\times 1/2\\ 0& 3& 3& 3& 0& \mathrm{①}+\mathrm{④}\times (-1)\\ 1& -1& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 1& 1& 1& 0& \mathrm{①}\times 1/3\\ 1& -1& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 1& 1& 1& 0\\ 1& 0& 2& 1& 0& \mathrm{②}+\mathrm{①}\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\\ 1& 0& 2& 1& 0\\ 0& 1& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}}$$となる。

よって $r=\text{rank}(A)=3$ である。

定理4.3.4より、$A$が正則行列であることは$A$の$n$個の列ベクトルは１次独立であることと同値であるから、１次独立である１列、２列、５列を残せばよい。また、３次の正則な小行列を得るには任意の行を１行取り除けばよい。

 

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