関数項級数の一様収束――項別積分・項別微分の条件と反例

無限和と積分・微分を交換する根拠を、誤差を一斉に抑える考え方から理解します。

1．各点収束と一様収束の違い

部分和 $S_N(x)=\sum_{n=1}^N u_n(x)$ が各 $x$ で $S(x)$ に近づくことが各点収束です。一様収束では、集合 $E$ 全体について $$\sup_{x\in E}|S_N(x)-S(x)|\longrightarrow0$$ を要求します。同じ $N$ を選べば全ての $x$ で誤差を小さくできる、という量の順序の違いがあります。

例題1：端点の近くが取り残される

関数列 $f_N(x)=x^N$ を $[0,1]$ で考えると、$x<1$ では0、$x=1$ では1に各点収束します。しかし極限との差の上限は常に1なので一様収束しません。$0\le x\le r<1$ に範囲を狭めれば $\sup |x^N|=r^N\to0$ です。区間の端を少し動かすことが定理の適用を変えます。

2．M判定と明示的な誤差

$|u_n(x)|\le M_n$ が全ての $x\in E$ で成立し、$\sum M_n<\infty$ なら、$\sum u_n$ は $E$ で一様かつ各点で絶対収束します。さらに $$\sup_{x\in E}\left|\sum_{n>N}u_n(x)\right|\le\sum_{n>N}M_n.$$ これがWeierstrassのM判定です。十分条件なので、適切な $M_n$ が見つからないだけで非一様収束とは言えません。

例題2：三角関数の級数

$\sum_{n=1}^\infty \sin(nx)/n^2$ は実数全体で $|\sin(nx)/n^2|\le1/n^2$。従って一様収束し、尾部は $\sum_{n>N}1/n^2\le\int_N^\infty t^{-2}dt=1/N$ で抑えられます。$N=1000$ なら全ての実数 $x$ で絶対誤差は $10^{-3}$ 以下です。

3．項別積分に必要なこと

各 $u_n$ が有限閉区間 $[a,b]$ で連続で、級数がそこで一様収束すれば、$$\int_a^b\sum_{n=1}^\infty u_n(x)\,dx =\sum_{n=1}^\infty\int_a^b u_n(x)\,dx.$$ 差の積分の絶対値が $(b-a)\sup|S-S_N|$ 以下になることが根拠です。無限区間や特異点を含む広義積分には、この有限閉区間の定理をそのまま使えません。

例題2を $[0,\pi]$ で積分すると、$$\int_0^\pi\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(nx)}{n^2}\,dx =\sum_{n=1}^\infty\frac{1-(-1)^n}{n^3}.$$ この等式は、和の関数を先に初等関数で表せなくても正当化できます。

4．微分は、微分後の一様収束を確認する

各 $u_n$ が $[a,b]$ で連続微分可能、ある1点 $x_0$ で $\sum u_n(x_0)$ が収束し、$\sum u_n'(x)$ が $[a,b]$ で一様収束するなら、元の級数も一様収束し、内部で $S'(x)=\sum u_n'(x)$ となります。

元の関数列が一様収束するだけでは不足します。$f_N(x)=\sin(Nx)/N$ は0へ一様収束しますが、$f_N'(0)=1$ は極限関数の導関数0へ近づきません。例題2でも形式的な微分級数 $\sum\cos(nx)/n$ は $x=0$ で発散するため、実数全体での項別微分をこの定理からは主張できません。

5．べき級数と端点を分ける

収束半径の内側の閉区間では、べき級数とその微分級数に一様収束の議論を適用できます。収束半径ちょうどの端点は別に判定します。「$|x|<1$ で導いた式に $x=1$ を代入する」には、端点までの連続性や適切な定理など、追加の根拠が必要です。

作問者の視点――条件と解法の関係

確認演習と解答

まず方針と必要な条件を言葉にしてから計算してください。解答は開いて確認できます。

関連する解説

• 部分和分とDirichlet・Abelの判定法――振動する級数を扱う
• 数列・漸化式の学習ガイド――型別・レベル別に解法と作問意図を読む

参考資料

定理・基本的な方法の確認に使える公開教材です。本ページの例題・演習・作問上のコメントは、解説用に独自に構成しています。

• Jiří Lebl, Basic Analysis, 6.2 Interchange of limits（極限と積分・微分の交換）