エジプト分数表示について

本稿ではエジプト分数分解について取り上げます。創作整数問題#78の作問に関連する話題です。

エジプト分数とは

幾つかの異なる単位分数（分子が $1$ の分数）の和、または、1つの単位分数で表す方法を「エジプト分数」、ないしは「エジプト式分数」と呼びます。この形式で分数を扱う方法は、紀元前1550年頃の古代エジプトの数学文書「リンド･パピルス」に記載されていることから、この名が付いたということです。

図．リンド･パピルスの一部
（大英博物館所蔵）

例えば $\frac{2}{7}$ は $\frac{2}{7} = \frac{1}{4} + \frac{1}{28}$ と表すことができます。また、 $\frac{2}{7} = \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{56}$ という表現も可能であり、エジプト分数としての表示方法は一意ではありません。

また、 $\frac{46}{2021}$ は $\frac{46}{2021} = \frac{1}{86} + \frac{1}{172} + \frac{1}{188}$ と3つの単位分数で表すことができますが、2つの単位分数で表すことはできません。

エジプト分数表示

任意の正の有理数はエジプト分数で表示できることが知られています。有理数 $\frac{p}{q}$ に対して $q = p a + r$ （ $r$ は余り）という除算を変形して $\frac{p}{q} = \frac{1}{a + 1} + \frac{p - r}{q (a + 1)}$ とすることにより、分子が $1$ の有理数に次々と分解できます。 $p > p - r$ なので、この操作は有限回で終わることも分かります。ただし上述のように、有理数が何個の単位分数の和で表示できるかは自明ではありません。

創作整数問題#78は $\frac{5}{78}$ を2個の単位分数の和で表示する方法を求めさせる問題でした。 $\frac{5}{78}$ を2個の単位分数の和で表示する場合、 $\begin{aligned} \frac{5}{78} & = \frac{1}{16} + \frac{1}{624} \\ = \frac{1}{18} + \frac{1}{117} \\ = \frac{1}{26} + \frac{1}{39} \end{aligned}$ という3通りの表示が可能です。

一方で $\frac{5}{78}$ を3個の単位分数の和で表示する方法は全部で94通りも存在し、これだと解が多すぎるので手計算で解答する問題としてはあまり適切ではありません。興味ある方のために以下に列挙しておきます。

» 5/78の3項エジプト分数表示（全94通り）

5/78 = 1/16 + 1/625 + 1/390000
5/78 = 1/16 + 1/626 + 1/195312
5/78 = 1/16 + 1/627 + 1/130416
5/78 = 1/16 + 1/628 + 1/97968
5/78 = 1/16 + 1/630 + 1/65520
5/78 = 1/16 + 1/632 + 1/49296
5/78 = 1/16 + 1/633 + 1/43888
5/78 = 1/16 + 1/636 + 1/33072
5/78 = 1/16 + 1/637 + 1/30576
5/78 = 1/16 + 1/640 + 1/24960
5/78 = 1/16 + 1/642 + 1/22256
5/78 = 1/16 + 1/648 + 1/16848
5/78 = 1/16 + 1/650 + 1/15600
5/78 = 1/16 + 1/656 + 1/12792
5/78 = 1/16 + 1/660 + 1/11440
5/78 = 1/16 + 1/663 + 1/10608
5/78 = 1/16 + 1/672 + 1/8736
5/78 = 1/16 + 1/676 + 1/8112
5/78 = 1/16 + 1/688 + 1/6708
5/78 = 1/16 + 1/696 + 1/6032
5/78 = 1/16 + 1/702 + 1/5616
5/78 = 1/16 + 1/720 + 1/4680
5/78 = 1/16 + 1/728 + 1/4368
5/78 = 1/16 + 1/741 + 1/3952
5/78 = 1/16 + 1/752 + 1/3666
5/78 = 1/16 + 1/768 + 1/3328
5/78 = 1/16 + 1/780 + 1/3120
5/78 = 1/16 + 1/793 + 1/2928
5/78 = 1/16 + 1/816 + 1/2652
5/78 = 1/16 + 1/832 + 1/2496
5/78 = 1/16 + 1/858 + 1/2288
5/78 = 1/16 + 1/880 + 1/2145
5/78 = 1/16 + 1/912 + 1/1976
5/78 = 1/16 + 1/936 + 1/1872
5/78 = 1/16 + 1/962 + 1/1776
5/78 = 1/16 + 1/1008 + 1/1638
5/78 = 1/16 + 1/1040 + 1/1560
5/78 = 1/16 + 1/1092 + 1/1456
5/78 = 1/16 + 1/1131 + 1/1392
5/78 = 1/16 + 1/1200 + 1/1300
5/78 = 1/17 + 1/190 + 1/62985
5/78 = 1/17 + 1/192 + 1/14144
5/78 = 1/17 + 1/195 + 1/6630
5/78 = 1/17 + 1/204 + 1/2652
5/78 = 1/17 + 1/221 + 1/1326
5/78 = 1/17 + 1/272 + 1/624
5/78 = 1/17 + 1/286 + 1/561
5/78 = 1/18 + 1/118 + 1/13806
5/78 = 1/18 + 1/120 + 1/4680
5/78 = 1/18 + 1/126 + 1/1638
5/78 = 1/18 + 1/130 + 1/1170
5/78 = 1/18 + 1/144 + 1/624
5/78 = 1/18 + 1/156 + 1/468
5/78 = 1/18 + 1/198 + 1/286
5/78 = 1/19 + 1/117 + 1/342
5/78 = 1/20 + 1/71 + 1/55380
5/78 = 1/20 + 1/72 + 1/4680
5/78 = 1/20 + 1/75 + 1/1300
5/78 = 1/20 + 1/78 + 1/780
5/78 = 1/20 + 1/80 + 1/624
5/78 = 1/20 + 1/84 + 1/455
5/78 = 1/20 + 1/117 + 1/180
5/78 = 1/20 + 1/130 + 1/156
5/78 = 1/21 + 1/61 + 1/11102
5/78 = 1/21 + 1/62 + 1/2821
5/78 = 1/21 + 1/63 + 1/1638
5/78 = 1/21 + 1/65 + 1/910
5/78 = 1/21 + 1/70 + 1/455
5/78 = 1/21 + 1/77 + 1/286
5/78 = 1/21 + 1/78 + 1/273
5/78 = 1/21 + 1/91 + 1/182
5/78 = 1/21 + 1/117 + 1/126
5/78 = 1/22 + 1/54 + 1/7722
5/78 = 1/22 + 1/55 + 1/2145
5/78 = 1/22 + 1/66 + 1/286
5/78 = 1/22 + 1/99 + 1/117
5/78 = 1/24 + 1/45 + 1/4680
5/78 = 1/24 + 1/48 + 1/624
5/78 = 1/24 + 1/52 + 1/312
5/78 = 1/24 + 1/72 + 1/117
5/78 = 1/24 + 1/78 + 1/104
5/78 = 1/26 + 1/40 + 1/1560
5/78 = 1/26 + 1/42 + 1/546
5/78 = 1/26 + 1/48 + 1/208
5/78 = 1/26 + 1/52 + 1/156
5/78 = 1/27 + 1/37 + 1/25974
5/78 = 1/27 + 1/39 + 1/702
5/78 = 1/27 + 1/54 + 1/117
5/78 = 1/28 + 1/36 + 1/1638
5/78 = 1/28 + 1/39 + 1/364
5/78 = 1/30 + 1/33 + 1/2145
5/78 = 1/30 + 1/35 + 1/455
5/78 = 1/30 + 1/39 + 1/195
5/78 = 1/30 + 1/45 + 1/117

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$p / 78$ 型有理数のエジプト分数表示

管理人は問題番号や年号などと関連させた問題を作ることが多いのですが、問題#78も例外ではありません。分母に $78$ を入れているのはそのためですが、分子の $5$ が適当に決められているかと言えば実はそうでもないということについて少し触れておきます。

分子に $78$ と約分できるような数を持ってきてしまうのは見た目も気持ち悪いですし問題としてあまり面白くありません。そこで分子としては必然的に $78 = 2 \times 3 \times 13$ と互いに素な整数を選ぶことになります。ここではそのような整数を素数に限定し、2個の単位分数の和として複数の方法で表示できるようなものを探すと、分子に $5$ を持ってくるのが最適という結論になります。

実際、整数 $p$ を $1 ≦ p ≦ 156$ の範囲で動かして、方程式 $\frac{p}{78} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ を満たす正の整数組 $(a, b)$ のうち $a ≦ b$ を満たすものを求めると以下のようになります。

» $p / 78$ の2項エジプト分数表示

$p = 1$
(79, 6162)
(80, 3120)
(81, 2106)
(82, 1599)
(84, 1092)
(87, 754)
(90, 585)
(91, 546)
(96, 416)
(104, 312)
(114, 247)
(117, 234)
(130, 195)
(156, 156)

$p = 2$
(40, 1560)
(42, 546)
(48, 208)
(52, 156)
(78, 78)

$p = 3$
(27, 702)
(28, 364)
(30, 195)
(39, 78)
(52, 52)

$p = 4$
(20, 780)
(21, 273)
(24, 104)
(26, 78)
(39, 39)

$p = 5$
(16, 624)
(18, 117)
(26, 39)

$p = 6$
(14, 182)
(26, 26)

$p = 7$
(12, 156)
(13, 78)

$p = 8$
(10, 390)
(12, 52)
(13, 39)

$p = 9$
(9, 234)
(10, 65)
(13, 26)

$p = 10$
(8, 312)

$p = 12$
(7, 91)
(13, 13)

$p = 13$
(7, 42)
(8, 24)
(9, 18)
(10, 15)
(12, 12)

$p = 14$
(6, 78)

$p = 15$
(6, 39)

$p = 16$
(5, 195)
(6, 26)

$p = 19$
(6, 13)

$p = 20$
(4, 156)

$p = 21$
(4, 52)

$p = 26$
(4, 12)
(6, 6)

$p = 27$
(3, 78)

$p = 28$
(3, 39)

$p = 29$
(3, 26)

$p = 32$
(3, 13)

$p = 39$
(3, 6)
(4, 4)

$p = 40$
(2, 78)

$p = 41$
(2, 39)

$p = 42$
(2, 26)

$p = 45$
(2, 13)

$p = 52$
(2, 6)
(3, 3)

$p = 65$
(2, 3)

$p = 78$
(2, 2)

$p = 79$
(1, 78)

$p = 80$
(1, 39)

$p = 81$
(1, 26)

$p = 84$
(1, 13)

$p = 91$
(1, 6)

$p = 104$
(1, 3)

$p = 117$
(1, 2)

$p = 156$
(1, 1)

» 閉じる

これを見ても分かる通り、条件に合うような $p$ は $p = 5, 7$ くらいです。このうち解が多い $5$ を分子の整数に選んだという訳でした。余裕がある人は $\frac{7}{78} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ を解いてみても面白いと思います。

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