今回は、前回の問題に登場した定数$\dfrac12$を少し動かしてみます。数列に平方数が現れるかどうかは、この定数とどのように関係しているのでしょうか。
三角関数を1°ずつ動かす――漸化式と複素数で考えるtan1°
以前、「tan1°の厳密値を求めれば京大の伝説の問題は解けるのか」という記事で、$\tan 1^\circ$の値を無理やり求めてみました。複素数の3乗根まで持ち出したものの、得られた式から無理数性を示すのは難しい、という結論でした。
その記事に、読者の方から「1°ずつ角度を変える加法定理を、数列の漸化式として考えてみてはどうか」というご提案をいただきました。今回はこの方針で、$\sin(n^\circ)$、$\cos(n^\circ)$、$\tan(n^\circ)$の一般項を求めてみようと思います。
実数の三角関数を扱っているはずなのに、漸化式を解く途中で複素数が現れます。しかも、京大の問題そのものは、一般項を最後まで求めなくても解けてしまいます。
数学が工業化される時代：372件の未解決問題に対してOpenAIが証明を公開
OpenAIは2026年10月6日、未公開のAIモデルが未解決の数学研究課題に取り組んで得た372件の数学成果を公開しました。関連する証明や派生結果をまとめたマニュスクリプトの一覧で、一部には証明支援系Leanで形式化した証明も添えられています。[1][2]
今回の発表には、数学者が十分に調べ切れていなかった命題に対して、高性能なAIを使えば網羅的に証明を試みられるという意義が示されたと言えます。証明の方針策定から、検証、結果の整理までを半自動化できれば、これまで一研究者が研究に割ける時間に制約があるために取り残されていた問いが片付けられるようになります。
OpenAIが公表した命題の証明のすべてが数学の方向性を変えるような重要な成果だとは言えないものの、こうした研究の進め方はもはや「数学の工業化」であり、パラダイムの変化に巻き込まれつつある数学コミュニティからは驚愕（もしくは怨嗟）の声が上がっています。最先端のAIモデルを擁する企業から一度に372件という規模の成果が発表されるという事態に際し、その価値と意味について考えてみます。 “数学が工業化される時代：372件の未解決問題に対してOpenAIが証明を公開” の続きを読む
円の反転写像（2025年東京大学前期理系数学第6問）
東京大学の理系数学第6問は複素数平面からの出題でした。円の反転に関する問題です。
シェーカーソートと場合の数（2025年東京大学前期理系数学第5問）
東京大学の理系数学第5問は場合の数に関する出題でした。本問は「シェーカーソート」という効率の良いソート法が背景になっています。漸化式の立式までという少し珍しい出題です。
2次式f(n)が平方数となるような正の整数nの個数（2025年東京大学前期理系数学第4問）
今年の東大理系数学の整数問題は論証題でした。
平行四辺形に外接する長方形の面積の最大値（2025年東京大学前期理系数学第3問）
本稿では東京大学の理系数学第3問を取り上げます。シンプルな図形の問題でした。場合分けが発生することを見落とさなければ完答できるかと思います。
対数関数の絡む極限計算（2025年東京大学前期理系数学第2問）
続いて東京大学の理系数学第2問を取り上げます。見た目はシンプルですが極限計算と証明がやや難しい問題です。
正方形に内接する三角形と点の軌跡の長さ（2025年東京大学前期理系数学第1問）
2025年の大学入試2次前期試験が終了しました。受験生の皆様、お疲れ様でした。まずは東京大学の入試問題を取り上げます。
【2025年】共通テスト数学ⅠA第3問
2025年の共通テスト数学ⅠAの第3問を解説します。立体図形が登場しますが、落ち着いて解答したいところです。