東京大学の理系数学第6問は複素数平面からの出題でした。円の反転に関する問題です。
複素数平面上の点 \( \dfrac{1}{2} \) を中心とする半径 \( \dfrac{1}{2} \) の円の周から原点を除いた曲線を \( C \) とする。
（１）曲線 \( C \) 上の複素数 \( z \) に対し，\( \dfrac{1}{z} \) の実部は $1$ であることを示せ。
（２）\( \alpha, \beta \) を曲線 \( C \) 上の相異なる複素数とするとき，\( \dfrac{1}{\alpha^2} + \dfrac{1}{\beta^2} \) がとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ。
（３）\( \gamma \) を (2) で求めた範囲に属さない複素数とするとき，\( \dfrac{1}{\gamma} \) の実部がとりうる値の最大値と最小値を求めよ。
（2025年 東京大学 理科前期第6問）
（１）
\(z=x+yi\)（\(x,y\) は実数）とおく。\(z\) は曲線 \(C\) 上にあるから、
\[\left(x-\frac12\right)^2+y^2=\frac14,\qquad (x,y)\ne(0,0)\]
であり、整理すると \(x^2+y^2=x\) を得る。したがって、
\[\frac1z=\frac{x-yi}{x^2+y^2}=1-\frac{y}{x^2+y^2}i\]
となるので、\(\displaystyle\frac1z\) の実部は \(\boxed{1}\) である。
また、後のために逆も確認しておく。任意の実数 \(t\) に対して
\[z=\frac1{1+ti}=\frac1{1+t^2}-\frac{t}{1+t^2}i\]
とおけば、\(z\ne0\) であり、
\[\left(\frac1{1+t^2}-\frac12\right)^2+\left(-\frac{t}{1+t^2}\right)^2=\frac14\]
が成り立つ。よって、この \(z\) は \(C\) 上にある。すなわち、\(z\) が \(C\) を動くとき、\(\displaystyle\frac1z\) は直線「実部が \(1\)」の全体を動く。
（２）
（１）とその逆より、実数 \(a,b\) を用いて
\[\frac1\alpha=1+ai,\qquad \frac1\beta=1+bi\]
と表せる。\(\alpha\ne\beta\) であることは \(a\ne b\) と同値である。
ここで、
\[\frac1{\alpha^2}+\frac1{\beta^2}=X+Yi\qquad(X,Y\text{ は実数})\]
とおくと、
\[X=2-a^2-b^2,\qquad Y=2(a+b)\]
である。\(a^2+b^2=\dfrac{(a+b)^2+(a-b)^2}{2}\) を用いて、
\[X=2-\frac{Y^2}{8}-\frac{(a-b)^2}{2}<2-\frac{Y^2}{8}\]
を得る。
逆に、\(X<2-\dfrac{Y^2}{8}\) を満たす実数 \(X,Y\) に対し、
\[d=\sqrt{\,4-\frac{Y^2}{4}-2X\,}>0,\qquad
a=\frac{Y}{4}+\frac d2,\quad b=\frac{Y}{4}-\frac d2\]
とおけば、\(a\ne b\)、\(2(a+b)=Y\)、\(2-a^2-b^2=X\) が成り立つ。（１）の逆より、\(\alpha=\dfrac1{1+ai}\)、\(\beta=\dfrac1{1+bi}\) は \(C\) 上の相異なる点であり、これらから \(X+Yi\) が得られる。
したがって、求める範囲は
\[\boxed{\left\{X+Yi\ \middle|\ X,Y\in\mathbb R,\quad X<2-\frac{Y^2}{8}\right\}}\]
である。複素数平面で、横軸を実軸、縦軸を虚軸とすると、頂点が \((2,0)\) の放物線 \(Y^2=-8(X-2)\) の左側の領域で、境界の放物線は含まない。
境界では \(a=b\)、すなわち \(\alpha=\beta\) となるため、問題の条件から除かれる。
（３）
\(\gamma=x+yi\)（\(x,y\) は実数）とおく。（２）の範囲に属さない条件は
\[x\ge2-\frac{y^2}{8},\qquad\text{すなわち}\qquad y^2\ge16-8x\tag{*}\]
である。原点は（２）の範囲に属するので、ここでは \(\gamma\ne0\) であり、
\[\operatorname{Re}\!\left(\frac1\gamma\right)=\frac{x}{x^2+y^2}\]
が成り立つ。
最大値
\(x\ge2\) のとき、
\[x^2+y^2-2x=x(x-2)+y^2\ge0.\]
一方、\(x<2\) のときは、\((*)\) より
\[x^2+y^2-2x\ge x^2-10x+16=(x-2)(x-8)>0.\]
したがって、いずれの場合も
\[\frac{x}{x^2+y^2}\le\frac12.\]
\((x,y)=(2,0)\) は \((*)\) を満たし、このとき等号が成り立つ。よって、最大値は \(\boxed{\dfrac12}\) である。
最小値
\((*)\) より、
\[x^2+y^2+16x\ge x^2+8x+16=(x+4)^2\ge0.\]
したがって、
\[\frac{x}{x^2+y^2}\ge-\frac1{16}.\]
等号が成り立つのは \(x=-4\)、\(y^2=16-8x=48\)、すなわち
\[\gamma=-4\pm4\sqrt3\,i\]
のときであり、これらは \((*)\) を満たす。よって、最小値は \(\boxed{-\dfrac1{16}}\) である。
以上より、
\[\boxed{\text{最大値 }\frac12\quad(\gamma=2),\qquad
\text{最小値 }-\frac1{16}\quad(\gamma=-4\pm4\sqrt3\,i)}\]
（１）で円上の点の逆数を \(1+ti\) の形に直すと、（２）は実数 \(a,b\) の和と差を扱う問題になります。特に、\(a+b\) は虚部を定め、\((a-b)^2\) は放物線から実軸方向にどれだけ左へ離れるかを定めます。
「\(\alpha,\beta\) は相異なる」という条件が、（２）の不等号を厳密な不等号にする点が重要です。また、不等式を導くだけでなく、その不等式を満たす点がすべて実現できることも確認する必要があります。
（３）では、範囲の外側を表す \(y^2\ge16-8x\) を利用します。最大値・最小値の候補を得た後、分母が正であることに注意して不等式を示し、等号成立条件まで確かめれば、微分を使わずに答案をまとめられます。
題名の「円の反転」は背景となる見方です。厳密には、\(z\mapsto1/z\) は単位円に関する反転 \(z\mapsto1/\overline z\) と実軸についての対称移動を組み合わせた変換です。本解答では反転の定理を前提にせず、複素数の計算と平方完成のみを用いました。
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