こんにちはpencilです。前回の問題#3は解けましたか？問題を見ていない人は先に創作整数問題#3をご確認ください。
続いて問題#4も剰余の話題です。
《問題#4》
$2^n+n$ と $4^n+n$ はともに$3$で割り切れないが、その和は$3$で割り切れるような自然数$n$をすべて求めよ。
（創作問題）
かなり簡単ですが、入試問題(笑)としても十分通用すると思います(笑)。
» 答えはこちら 答えは $\color{red}{n=6k-3 \ (k \in \mathbb{N})}$ です。詳しい解答は後日。 » 閉じる
創作整数問題#3（解き方）
さて、前回の#3は
| $n!+10$ が平方数となるような自然数$n$をすべて求めよ。 |
という問題でした。$n!+10$ が平方数となるような自然数$n$をすべて求めるということは、$n!+10$ が平方数とならないような自然数$n$をすべて求めるということと同じです。平方剰余の知識があれば圧倒的に容易な問題に感じられるはずです。
さて、$n!+10$ にどんどん$n$を代入していけば $n=3$ のときに$16$となり適することが分かりますが、それ以降は全くそれらしい解が見つかりません。ここで剰余類の出番です。平方数を$4$で割ったときの余りは $0$ か $1$ のいずれかです。ここら辺がアヤシイ人は「整数第３章第１節Ｂ-１」の問題#B005を確認しましょう。
$n \geqq 4$ のとき、$n!$は$4$の倍数なので、$n!+10$ を$4$で割ったときの余りは$10$を$4$で割ったときの余りに等しくなるので、余りは$2$です。$4$で割ったときの余りが$2$となる平方数は存在しませんから、$n \geqq 4$ のとき $n!+10$ は平方数になり得ません。
したがって求める自然数$n$は $n=3$ となります。
（コメント）
$n!+10$ の$10$の部分を変えれば類題が無限に作れます。暇を持て余しているご友人がいれば積極的に出題してあげましょう(笑)。