さて、今回は一風変わった出題です。2018年ということで、2018に因んだ覆面算の問題にしてみました！
《問題#32》
次の覆面算を解け。
$$\begin{align}\ \ \ \text{八十八}_{\ } \\
\ \ \ \text{百二十}_{\ } \\
\underline{{+)}_{\ }\ \ \ \text{千八百十}_{\ }} \\
\ \ \ \text{二千十八}_{\ } \end{align}$$
ただし、各文字には$0$～$9$までの異なる整数が入るものとし、同じ文字には同じ数字が入り、異なる文字に同じ数字は入らない。また、最上位の文字に$0$が入ることはない。
（創作問題）
しっかり条件を洗い出せばマジメに筆算で検算する必要はありません。上手く候補を絞り込みましょう。
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答えは$$\color{red}{\begin{array}{r} 757 \\
635 \\
\underline{+)\ 1765}\\
3157 \end{array}}$$の一組のみです。（一意解）
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創作整数問題#31（解き方）
| 十進法表記における$n^3$の各位の数の和が$n$に等しくなるような正の整数$n$のうち、$3$の倍数であるものをすべて求めよ。 |
慣れていないと手を付けにくいタイプの問題かもしれません。各位の数の和が取り得る値と桁数の関係から、桁数を絞れることに気付ければ一歩前進。「各位の数の和」と「$3$の倍数」とあることから、$3$や$9$の剰余類で絞り込みができることに気付ければ更に前進です。
《解答例》
まず、題意を満たすような$n$で、$3$桁以上のものが存在しないことを示す。
$n$を$k$桁の数とすると、$$10^{k-1} \leqq n < 10^k \tag{1}$$が成り立つ。各辺を$3$乗して$$10^{3k-3} \leqq n^3 < 10^{3k}$$即ち$$10^{3k-3} \leqq n^3 \leqq 10^{3k}-1$$を得る。これより、整数$N$の各位の数の和を$f(N)$で表すことにすると、$$f(10^{3k-3}) \leqq f(n^3) \leqq f(10^{3k}-1)$$ $$\therefore 1 \leqq f(n^3) \leqq 9 \cdot 3k$$ $$\therefore 1 \leqq f(n^3) \leqq 27k \tag{2}$$が必要となる。等式 $n=f(n^3)$ を満たすような$n$が存在するためには$(1)$式と$(2)$式が同時に成立する必要がある。故に$$10^{k-1} \leqq 27k$$が必要である。これは $k \geqq 3$ で成立しないから、$k \leqq 2$ が必要である。よって題意を満たすような$n$は、$1$桁、または$2$桁の正の整数に限られる。
次に、$n$が$3$の倍数のとき$n^3$は$9$の倍数となるから、$n^3$の各位の数の和$f(n^3)$も$9$の倍数となる。これより、$n$が$3$の倍数のとき、等式 $n=f(n^3)$ が成り立つためには$n$が$9$の倍数でなければならない。
以上の考察から、$1$桁、または$2$桁の正の整数のうち、$9$の倍数となるものから題意を満たすような$n$を探せばよいことが分かる。
$n=9$ のとき $9^3=729$ であり、$f(729)=18 \ (\ne n)$ であるから不適。
$n$が$2$桁のとき、$(2)$式より、$f(n^3) \leqq 54$ となるから、$n$の候補は$18$、$27$、$36$、$45$、$54$の５つに絞られる。
$f(18^3)=f(5832)=18$ より、$n=18$ は適する。
$f(27^3)=f(19683)=27$ より、$n=27$ は適する。
$f(36^3)=f(46656)=27$ より、$n=36$ は不適。
$f(45^3)=f(91125)=18$ より、$n=45$ は不適。
$f(54^3)=f(157464)=27$ より、$n=54$ は不適。
以上より、求める正の整数$n$は$$\color{red}{n=18、27}$$である。
（コメント）
$3$の倍数という条件が効いているため、意外と簡単に答えが導くことができました。前回も少し触れましたが、$3$の倍数という制限を外すと、等式 $n=f(n^3)$ を成立させるような$n$は全部で$6$個存在します。因みに残りの$4$個は$1$、$8$、$17$、$26$です。気になる方は確かめて見て下さい。
本問は$3$乗の場合ですが、$4$乗、$5$乗ではどうか･･･など、考え始めるときりがありませんが、なかなか挑戦し甲斐のある問題かもしれませんね。