創作整数問題#56解法＆創作整数問題#57

解答例

$k$を整数として$$\dfrac{8x+4y+2}{x^2+6y^2+8}=k$$と置くと、$$8x+4y+2=kx^2+6ky^2+8k \ \ \ \cdots (1)$$と変形できる。$k=0$ のとき$$8x+4y+2=0$$ $$\therefore 4x+2y+1=0$$となるが、これを$$4x=-(2y+1)$$と変形すると、$x$、$y$が整数のとき左辺は偶数、右辺は奇数となるので、この等式を満たすような整数$x$、$y$は存在しない。故に $k \ne 0$ である。

よって$(1)$式は$$\left(x^2-\dfrac{8}{k}x\right)+6\left(y^2-\dfrac{2}{3k}y\right)=\dfrac{2}{k}-8$$ $$\therefore \left(x-\dfrac{4}{k}\right)^2+6\left(y-\dfrac{1}{3k}\right)^2=\dfrac{-24k^2+6k+50}{3k^2}$$と式変形できる。これを満たす実数$x$、$y$が存在するためには右辺が$0$以上となることが必要であるから、$$-24k^2+6k+50 \geqq 0$$が必要である。これより$$\dfrac{3-\sqrt{1209}}{24} \leqq k \leqq \dfrac{3+\sqrt{1209}}{24}$$を得る。$\dfrac{3-\sqrt{1209}}{24}=-1.32…$、$\dfrac{3+\sqrt{1209}}{24}=1.57…$ であるから、$k=\pm 1$ の場合を考えればよい。

（i）$k=1$ のとき、$(1)$式は$$\therefore \left(x-4\right)^2+6\left(y-\dfrac{1}{3}\right)^2=\dfrac{32}{3} \ \ \ \cdots (2)$$となる。これより少なくとも$$6\left(y-\dfrac{1}{3}\right)^2 \leqq \dfrac{32}{3}$$が必要となるので、$y=-1,\,0,\,1$ に絞られる。

a）$y=-1$ のとき$(2)$式より、$$(x-4)^2=0$$ $$\therefore x=4$$よって $(x,y)=(4,-1)$ は求める解の一つである。

b）$y=0$ のとき$(2)$式より、$$(x-4)^2=10$$となるが、これを満たす整数$x$は存在しない。

c）$y=1$ のとき$(2)$式より、$$(x-4)^2=8$$となるが、これを満たす整数$x$は存在しない。

（ⅱ）$k=-1$ のとき、$(1)$式は$$\therefore \left(x+4\right)^2+6\left(y+\dfrac{1}{3}\right)^2=\dfrac{20}{3} \ \ \ \cdots (3)$$となる。これより少なくとも$$6\left(y+\dfrac{1}{3}\right)^2 \leqq \dfrac{20}{3}$$が必要となるので、$y=-1,\,0$ に絞られる。

a）$y=-1$ のとき$(3)$式より、$$(x+4)^2=4$$ $$\therefore x=-2,\,-6$$となる。これより $(x,y)=(-2,-1),(-6,-1)$ を得る。

b）$y=0$ のとき$(3)$式より、$$(x+4)^2=6$$となるが、これを満たす整数$x$は存在しない。

以上（i）、（ⅱ）より、求める整数解は$$(x,y)=\color{red}{(4,-1),(-2,-1),(-6,-1)}$$である。