すっかり夏らしくなってきましたね！
創作整数問題#62
《問題#62》
座標平面上で原点を中心として曲線$C_1$：$y=x^2$ を$45^{\circ}$だけ回転させて得られる曲線を$C_2$とするとき、曲線$C_2$上の格子点をすべて求めよ。ただし格子点とは、$x$座標と$y$座標の値がともに整数であるような点のことである。
（創作問題）
整数問題と呼ぶには異色な感じですが、解答の方針にはあまり困らないのではないでしょうか。曲線$C_2$の方程式は複素数か行列で求めることができますね！
» 答えはこちら
答えは $(x,y)=\color{red}{(0,0)}$ です。本問のような問題設定の場合、$\sqrt{2}$が無理数であるという事実は暗黙の了解とせず、念のために答案中で証明しておいた方が良いでしょう。なお本問では「整数」としていますが、「有理数」でも同じ結果になります。
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創作整数問題#61（解き方）
| $N=2020^{2020}$ を十進法表示したときの各桁の数をすべて足した数を$A$とし、同様に$A$の各桁の数をすべて足した数を$B$、$B$の各桁の数をすべて足した数を$C$とするとき、$C$を求めよ。 |
まずは $A$ の値の範囲を調べましょう。$2020^{2020}$という数自体は6677桁という途轍もなく巨大な数ですが、それに比べて$A$の取り得る値の範囲はかなり小さくなります。
解答例
まず、$$N=2020^{2020}<10000^{2020}=10^{8080}$$が成り立つから$N$の各桁には高々$8080$個の$9$しか並ばない。従って$A$の値のとりうる範囲は$$A \leqq 9 \cdot 8080=72720$$となる。$B$ についても同様に考えると、$72720$以下の自然数で各桁の数の和が最大になるものは$69999$であるから$$B \leqq 6+9+9+9+9=42$$となる。また、$42$以下の自然数で各桁の数の和が最大になるものは$39$であるから$$C \leqq 3 + 9=12$$となる。
ここで次の補題を示す。
補題：すべての整数$n$に対して、$n$ を十進法表示したときの各桁の数をすべて足した数を$s$とすると$$n \equiv s \pmod{9}$$が成り立つ。
$n$を十進法表示したときの桁数を$k$とすると、$$n=a_{k} \cdot 10^{k-1} + a_{k-1} \cdot 10^{k-2} + \cdots + a_{2} \cdot 10 + a_{1}$$と表現できる（$a_k \ne 0$、$a_i \ (i \leqq k \in \mathbb{N})$ は1桁の非負整数）。このとき$$s=a_{k} + a_{k-1} + \cdots + a_{2} + a_{1}$$であり、すべての$i$について$$a_{i} \cdot 10^{i-1} \equiv a_{i} \pmod{9}$$が成り立つから$$n \equiv s \pmod{9}$$が成り立つ。
（了）
$2020 \equiv 4 \pmod{9}$ より、$$2020^{2020} \equiv 4^{2020} \pmod{9}$$が成り立つ。$4^3=64 \equiv 1 \pmod{9}$ より、$$\begin{align} 2020^{2020} &\equiv 4^{3 \cdot 673} \cdot 4 \pmod{9} \\ &\equiv 1^{673} \cdot 4 \pmod{9} \\ &= 4 \end{align}$$となるから補題より、$$N \equiv A \equiv B \equiv C \equiv 4 \pmod{9}$$が成り立つ。いま、$C \leqq 12$ であるから、$C=4$ に限られる。以上より、求める$C$の値は$$C=\color{red}{4}$$である。
（コメント）
解答例について、$A$の各位の数の総和が最も大きくなるのは $A=69999$ のときで、$B$の各位の数の総和が最も大きくなるのは $B=39$ のときです。勿論、実際に$A$や$B$がこれらの値をとるとは限りません（実際はもっと小さい値をとります）。大雑把に見積もっても答えに辿り着くのが何となく不思議な感じですね。
補題はわざわざ示すまでもない知識だと思われるかもしれませんが、証明は大した手間ではないので書いておくのが無難です。$2020^{2020} \equiv 4 \pmod{9}$ を示した後に補題を証明しても問題ありません。
因みに、ちゃんと計算すると $A = 20776$、$B = 22$ となります。$N$の値も一応掲載しておきます（※巨大につき注意）。
» $N$ (6677桁) の値はこちら
$N=$6453068603518971695917752330074209010385149439117726618559499994119879166670111390368923214604010780393941691377335543131707725099063463546777942103144920818482852579481660974687307691611632875529179379644984614432935563333697081013037410583274162600137349060696998428028546450233331448724662119469278981092124252435899769702541277219022876376969101168057212318874277235141750593651627302559775600904690682720803876596657064433585790227734220421021952520323003561331636462439245762161355321900457727687621847808192106833703505631868012053399471911435000807462989300663330148804886008483721616121735583880826827575378960938052898972844150796941470569021265609315372509052904248104729986643283538534049300703686442367446762407329968254230495380863197233191760067989740752732786655339777440951708905881529159715399829983205388838335274694354354381345513683781431024088640931188337549178632131944074273633876544515103011968685801590717401319660939248086105461358930355135559029047530438491810148443399580407709004076923800532813550971462855342860842125901560361904481814264718564844979006700369425695586129897351592951319795142951432157577614625737852316753433434524664300779954889067056849477790725440250081058402009861846031540456763719333832633645844972071943333465585274718378536639324039824368246251698822970892365807296169273211089259901661786394418527570885995076609466953682768423375759571659096092711628648604917077839674608553468192301646711615372210183495566592761118937099405487214248146704678314301127919526132825546403565959022402285891065785713809053704393498946177105038692468916000234830446248672823331660920275078965380638818283499583563571967133305857372487630546568606085249526288192236389380486291601043389105082539348732874304608321814031652725912590851196453435823439963337750207507459642903321243715075938196861286011289928516370685662787469585892932170346777038628168393294705301018596504687495067445022657826372589491476199030654489866993610616652018008860737169547678248327704088274892359647973500349109306096662484788539106405869099858365025695868963528597583163462220651770552099249236720753219506750489823290086908647176062352232412737411560198395690820426676074641353238884325773788142356857950847015215516678478582892127341632048686499319394454995638120284730363774983028830622274043117854189181183195533292436275848306112804543556470475954376095630220524883082139316984003144066647507571460012623429316212229606162665369904377004423257506337259625179109831473626409326147986369267100178026205032447412094208517819353436990394344504024413258296363625491006847358085206641353754941551120532452976613792288965002045108166822150568775102358504532819700120713347430437871152545941643366933924352213489284616072683057386649571136597355682619676378896501740348442814580898010575154940449628751920018411296436540779967816864791383211028365472270169684123830243091599415008159491876879559057917727520641507661837859956074292299969322237530173701814321066965769492020778272388335383141900463497778151385735702699380867616428024366657643636396781420221503611762040406716152508335884957775740401436580708075701715458515081139817652178516781233646599741015553912607550092253525001997214662894898980194551926172170263980608668241641636070047368763725061891893821670771887828169445927365448456019616405243440335687892885720150635617618296802322854891065744122775592021891123355252983249980009192296521896786003440784759749231474714802705058977942743580025911670371651874756753607510597826181739672963812695445806207206558456955061288392879478575669761088391241977021925222460965724021266852009330002066423619870462363482978714175220834151624895729225200709814983659486529478920005270957259359510279152330720508319626098824787285091449091548870413821521811662094664431247744667204282355534799744709307058640717286281186306150943154537999034779667872852271553410728031291979826788449469265242408647670102810167800376172666621375614188867821493086586716679939678856114323996701256513289957630900816730423496400613524186071632887499772618132133701177593796863018680903436312646357033863942159506040077859111102588516373442935103464361655917533746706330937034151759658375319345465702879676102671685665302206752638001633691205283210232964191719845117736760785641884871334339261470284948175106339547139489430439639582732276598767988563126741348645955601399526734370820187602874669960624009963130113392390895010512739349754296120189180536017763741273039147346610310263451243316425521634696925308376611409074901650032891578073940830882960313974694136105602453680119044168629309799166238638165435344182088239351409447159470180201421466954290829853720576000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000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なお、$2021^{2021}$の場合は $2021^{2021} \equiv 2 \pmod{9}$ となるので、$C=2$ もしくは $C=11$ となって$C$を一意に定められませんが、さらに$C$の各位の数の和をとると$2$になることは分かります。
余談ですが、1975年の国際数学オリンピックに $N={4444}^{4444}$ とした同様の問題が出題されています。