創作整数問題#68解法＆創作整数問題#69

解答例

$a$、$b$、$c$を互いに異なる整数とする。このとき題意を満たす分数$F$は$$\small F=\dfrac{10a+b}{10b+c},\dfrac{10a+b}{10a+c},\dfrac{10a+b}{10c+a},\dfrac{10a+b}{10c+b}$$と表すことができる。このうち、$\dfrac{10a+b}{10a+c}$ と $\dfrac{10a+b}{10c+b}$ について$$\dfrac{10a+b}{10a+c}=\dfrac{b}{c}$$および$$\dfrac{10a+b}{10c+b}=\dfrac{a}{c}$$を解くとそれぞれ $b=c$、$a=c$ となり、$F=1$ となるので不適である。

また、$\dfrac{10a+b}{10c+a}$ は $\dfrac{10a+b}{10b+c}$ の逆数の場合相当するから、結局$$F=\dfrac{10a+b}{10b+c}$$のときを考えれば十分である。

$\dfrac{10a+b}{10b+c}=\dfrac{a}{c}$ の分母を払うと、$$10 a c+b c=10 a b+a c$$ $$\therefore 10 a(c-b)=c(a-b) \quad \cdots ①$$ となる。左辺が$10$の倍数だから右辺も$10$の倍数であることが必要である。いま、$a$と$b$の差は高々$8$以下であるから

$c=5$ または $a-b=\pm 5$

の場合に限られる。

（ア）$c=5$ のとき、①より$$2a(5-b)=a-b$$を得る。これを $b$ について解くと $b=\dfrac{9a}{2a-1}$ となるから、$b$が整数となるためには $2a-1=1,\,3,\,9$ が必要（$\because$ $a$ と $2a-1$ は互いに素）。

これより $a=1,\,2,\,5$ となるから$$(a,b,c)=(1,9,5),(2,6,5),(5,5,5)$$を得るが、$(a,b,c)=(5,5,5)$ のとき $F=1$ となり不適。よって$$F=\dfrac{19}{95},\, \dfrac{26}{65}$$と求められる。

（イ）$a-b=5$ のとき、①より$$2(b+5)(c-b)=c$$となる。これを$c$について解くと$$c=\dfrac{2 b^{2}+10 b}{2 b+9}=b+\dfrac{b}{2 b+9}$$となるが、このとき$c$は整数にならず不適である。

（ウ）$a-b=-5$ のとき、①より$$2a(c-a-5)=-c$$となる。これを$c$について解くと$$c=\dfrac{2 a^{2}+10 a}{2 a+1}=a+\dfrac{9 a}{2 a+1}$$となるから、$c$が整数となるためには $2a+1=1,\,3,\,9$ が必要（$\because$ $a$ と $2a+1$ は互いに素）。

$a \neq 0$ より $a=1,\,4$ となるから$$(a, b, c)=(1,6,4),(4,9,8)$$を得る。よって$$F=\dfrac{16}{64},\, \dfrac{49}{98}$$を得る。

以上より、求める分数は$$\color{red}{\dfrac{16}{64},\,\dfrac{26}{65},\,\dfrac{19}{95},\,\dfrac{49}{98}}$$の４つである。