しばらく放ったらかしにしてしまいました。創作整数問題シリーズも75回を重ね、これでシーズン3が一区切りします。
創作整数問題#75
《問題#75》
$a \geqq b \geqq c$ を満たす正の整数$a$、$b$、$c$に対して、方程式$(*)$を考える。$$(*):\quad a^{3}+b^{3}+c^{3}=(a b c)^{2}$$以下の問いに答えよ。
（１）$c=1$ を示せ。
（２）方程式$(*)$を満たす組$(a,b,c)$をすべて求めよ。
（創作問題）
$c=1$ となることは不等関係を用いて式変形から示すこともできますし、背理法を用いても示すことができます。
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（２）の答えは $(a,b,c)=(3,2,1)$ です。
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創作整数問題#74（解き方）
| 任意の自然数$n$に対して、$3$乗すると下$n$桁の数字がすべて$1$になるような$n$桁以下の正の整数が存在することを示せ。 |
$n$桁以下のある種の整数を$3$乗すると下$n$桁の数字が全部$1$になることがあります。例えば$$\begin{aligned} 71^3&=3579\underline{11} \\ 471^3&=104487\underline{111} \\ 8471^3&=60786067\underline{1111} \\ 88471^3 &=6924729425\underline{11111} \end{aligned}$$･･･などのように、確かに下$n$桁の数字が$1$で揃っています。このような整数が任意の自然数$n$について存在するか？というのが本問の趣旨です。
上で列挙した整数を見て何か気づいた方もいるかもしれませんね。実は最高位に新たに数字を付け足していくことで、条件を満たすような新しい整数が得られています。実際にこのようにして数列を構成できることを示せば証明できそうなので、これを目指して解答を作ってみましょう。
解答例
すべての正の整数$n$に対して、以下の命題$(*)$が成り立つことを数学的帰納法により示す。
$(*)$：$3$乗すると下$n$桁がすべて$1$になるような$n$桁以下の正の整数が存在する
（ⅰ）$1^3=1$ より、$n=1$ のとき命題$(*)$は成り立つ。
（ⅱ）$n=k$（$k$は$2$以上の整数）が成り立つとする。すなわち、$3$乗すると下$k$桁がすべて$1$になるような$k$桁以下の正の整数$x$が存在するとする。
このとき、$0 \leqq y \leqq 9$ を満たす整数$y$を用いて$$N=y \cdot 10^{k}+x$$と表される $k+1$ 桁以下の正の整数$N$で、$N^3$の下 $k+1$ 桁がすべて$1$になるようなものが存在することを示す。
$$\small \begin{align} N^{3}&=\left(y \cdot 10^{k}+x\right)^{3} \\ &=y^{3} \cdot 10^{3 k}+3 y^{2} x \cdot 10^{2 k}+3 y x^{2} \cdot 10^{k}+x^{3} \end{align}$$より、$N^3$の下$k$桁は$x^3$の下$k$桁に等しくなるから、すべて$1$である。
続いて、$N^3$の $k+1$ 桁目の数を$M$とする。このとき$M$は$x^3$の$10^k$の位の数（$z$とする）と$3x^{2}y$の$1$の位の数を足し合わせた数の$1$の位の数に等しくなる。
ここで、$x$の$1$の位は$1$であるから、$x^2$の$1$の位も$1$である。よって、$3x^{2}y$と$3y$の$1$の位の数は一致するから、$M$は $3y+z$ の$1$の位の数に等しくなる。したがって、どのような$z$に対しても $3y+z$ の$1$の位の数が$1$となるような整数$y$がとれることを示せばよい。
$y$が $0,\,1,\cdots,\, 9$ のすべての値をとり得るとき、$3y$の$1$の位もまた $0,\,1,\cdots,\, 9$ のすべての値をとり得る。よって$z$の$1$の位がいかなる数であっても $3y+z$ の$1$の位の数が$1$となるような整数$y$は必ず存在する。そのような整数$y$を$w$とすると$$N=w \cdot 10^{k}+x$$は命題$(*)$を満たす整数となるから、$n=k+1$ のときでも成り立つ。
以上（ⅰ）、（ⅱ）より、すべての正の整数$n$に対して、$3$乗すると下$n$桁がすべて$1$になるような$n$桁以下の正の整数が存在することが示された。
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本問のように、ある条件を満たす数列が無数に存在することの証明は、
① 数列の構成法を示す
もしくは
② 一般項の式を与える
という方針を取ります。帰納法を使うかどうかはその後の判断です。今回は具体的な一般項の式を与えるのが難しいため、題意を満たすような数列が任意の$n$に対して構成できることを示して証明しました。
ノーヒントでの出題でしたが、具体的な構成法があることは類題の経験が無くても、少し実験すれば見つけられるはずです。結局、帰納法の議論で重要になるのは$10^k$の位の数字だけなので、ここだけ上手く取り出して議論します。
試しに、$n$が小さい場合について具体的に考えてみましょう。
$3$乗すると下$1$桁が$1$になるような$1$桁の正の整数は$1$のみです。
次に$2$桁の数を考えます。$\overline{y1}_{(10)}$と十進法で表示される$2$桁の数について、$\overline{y1}_{(10)}^3$の$10$の位の数を調べると、$y=7$ のとき下$2$桁が$11$になるので、$y=71$ を得ます。これは$$\small (10y+1)^3=1000y^{3}+300y^{2}+30y+1$$を考えればすぐに見つかります。
続いて$3$桁の数を考えます。$\overline{y71}_{(10)}$と表示される$3$桁の数について、$\overline{y71}_{(10)}^3$の$10$の位の数を調べると、$y=4$ のとき下$3$桁が$111$になります。これは$$\small \begin{aligned} & \ \quad (100y+71)^3 \\ &=10^{6}y^{3}+3 \cdot 71 \cdot 10^{4}y^{2}+3 \cdot 71^{2} \cdot 10^{2} y+71^{3} \\ & \equiv 3 \cdot 71^{2} \cdot 10^{2} y+71^{3} \pmod{1000} \\ &=1512300y+357911 \\ &\equiv 300y+911 \pmod{1000} \end{aligned}$$より、$3y+9$ の$1$の位が$1$になれば良いので $y=4$ が定まります。
このような実験を踏まえて、題意を満たす整数がどんな$n$に対しても構成できることを一般的な形で示せば解決しそうだ、と見通せることが大切です。いきなり抽象的な議論を始めると議論の方向性を見失いかねないので、前もって具体的な例を考え、答案のゴールをある程度見据えてから解答するよう心掛けられると良いですね。