創作整数問題#77解法＆創作整数問題#78

解答例

条件$(1)$を満たすような三角形の頂点はすべて格子点であるから、そのうちのある1点が原点に一致するように平行移動しても三角形の頂点はすべて格子点のままである。また、条件を満たす放物線$C$について、$x$軸に関して対称な放物線もまた条件を満たす。これより、原点を通る下に凸な放物線$$y=ax^2+bx$$の場合を考えれば十分である。ここで$a$は正の整数、$b$は任意の整数である。

原点以外の頂点を$\mathrm{P}$、$\mathrm{Q}$として点$\mathrm{P}$、$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$p$、$q$と置く。ここで三角形の頂点のうち$x$座標が最も小さい点を原点とすれば、$p$、$q$は $0<p<q$ を満たす整数としてよい。$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は$$\small \begin{aligned}
\triangle \mathrm{OPQ} &=\frac{1}{2}\left|x_{\mathrm{P}}y_{\mathrm{Q}}-x_{\mathrm{Q}} y_{\mathrm{P}}\right| \\
&=\frac{1}{2}\left|p\left(a q^{2}+b q\right)-q\left(a p^{2}+b p\right)\right| \\
&=\frac{1}{2}|pq\{(a q+b)-(a p+b)\}| \\
&=\frac{1}{2}|apq(q-p)| \\
&=\frac{1}{2} a p q(q-p) \quad (\because 0<p<q)
\end{aligned}$$で与えられる。これより、本問は等式$$\dfrac{1}{2} a p q(q-p)=77$$ を満たす整数$p$、$q$（$0<p<q$）が存在するような正の整数$a$を求める問題に帰着する。

ここで、$p$と$q$の偶数と奇数の別にかかわらず$pq(q-p)$は偶数となることに注意する。$$apq(q-p)=154 \quad \cdots (*)$$の右辺は素因数$2$を$1$個しかもたないから、$a$が偶数だとすると$(*)$の左辺は$4$の倍数となり不合理。よって少なくとも$a$は奇数であり、かつ$77$の約数に限られるから、$$a=1,\,7,\,11,\,77$$の$4$つに絞られる。

$a=1$ のとき、$(*)$は$$pq(q-p)=154$$となる。ここで$154$を3つの正の整数の積で表すと$$\begin{align}154 &= 1 \times 2 \times 77 \\ &= 1 \times 7 \times 22 \\ &= 1 \times 11 \times 14 \\ &= 2 \times 7 \times 11 \end{align}$$の4通りのみで、$(*)$の左辺がこのような形の積となる$p$、$q$の組は存在しない。

$a=7$ のとき、$(*)$は$$pq(q-p)=22$$となる。ここで$22$を3つの正の整数の積で表すと$$\begin{align}22 &= 1 \times 2 \times 11 \end{align}$$の1通りのみで、$(*)$の左辺がこのような形の積となる$p$、$q$の組は存在しない。

$a=11$ のとき、$(*)$は$$pq(q-p)=14$$となる。ここで$14$を3つの正の整数の積で表すと$$\begin{align}14 &= 1 \times 2 \times 7 \end{align}$$の1通りのみで、$(*)$の左辺がこのような形の積となる$p$、$q$の組は存在しない。

$a=77$ のとき、$(*)$は$$pq(q-p)=2$$となる。ここで$2$を3つの正の整数の積で表すと$$\begin{align}2 &= 1 \times 1 \times 2 \end{align}$$の1通りのみであり、$(p,q)=(1,2)$のとき、$(*)$の左辺はこのような形の積になる。

以上より、例えば放物線$C$の方程式を $y=77x^2$ とすれば、$C$上に存在する3点 $(0,\,0)$、$(1,\,77)$、$(2,\,308)$ を頂点とする三角形は二等辺三角形にならず、かつ、その面積は$77$となる。よって、条件$(1)$と$(2)$を同時に満たすような座標平面上の放物線$C$が存在することが示された。

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