創作整数問題#90解法＆創作整数問題#91

解答例

整数$n$の桁数を$i$として、$n$の十進法表記を$$n = \overline{a_{i}a_{i-1} \cdots a_1}_{(10)}$$と置く。ここで各位の数$a_i$（$i=1,2,\cdots,n$）は$0$以上$9$以下の1桁の整数である。ただし、$1 \leq a_i \leq 9$ である。

これより、$$s=a_{i}+a_{i-1}+\cdots +a_{1}$$および$$p=a_{i} \cdot a_{i-1} \cdot \cdots \cdot a_{1}$$と表せる。$n = s + p$ が成り立つとすれば、$$a_{i} \cdot 10^{i-1} \leq n = s + p \leq (a_{i} + 9(i-1)) + a_i \cdot 9^{i-1}$$つまり$$(10^{i-1}-9^{i-1}-1)a_i < 9(i-1) \quad \cdots ①$$が成り立つことが必要である。ここで、$$(10^{i-1}-9^{i-1}-1)a_i \geq 10^{i-1}-9^{i-1}-1$$であるから、$①$が成り立つためには少なくとも$$10^{i-1}-9^{i-1}-1<9(i-1) \quad \cdots ②$$が成り立つことが必要となる。

ここで、$n$の桁数が$3$以上でないことを示すために、不等式$②$が $i \geq 3$ で成立しないこと、つまり $i \geq 3$ において$$10^{i-1}-9^{i-1}-1 \geq 9(i-1) \quad \cdots ③$$が成立することを、数学的帰納法によって証明する。$i=3$ のとき、$③$の左辺は$$10^{3-1}-9^{3-1}-1=18$$となり右辺は$18$となるから不等式$③$は成立する。$i=k$（$k$は$4$以上の整数）について不等式$③$が成立すると仮定する。$$10^{k-1}-9^{k-1}-1 \geq 9(k-1)$$の両辺に$10$を乗じて整理すると、$$10^{k}-(9+1)\cdot 9^{k-1}-10 \geq 90(k-1)$$ $$\therefore 10^{k}-9^{k}-1 \geq 9k+(9^{k-1}+81k-81)$$となる。$k \geq 4$ のとき、$9^{k-1}+81k-81>0$ であるから$$10^{k}-9^{k}-1 \geq 9k$$が成り立つ。よって不等式$③$は $i=k+1$ のときも成立する。以上より、$i \geq 3$ において不等式$③$が成立することが示された。これより不等式$②$は $i \geq 3$ で成立しないことが従うから、$n$の桁数は$2$に限られる。

したがって $n=s+p$ より、$$10a_{2}+a_{1}=a_{2}+a_{1}+a_{2}a_{1}$$ $$\therefore a_{2}(a_{1}-9)= 0$$いま、$a_{2} \ne 0$ であるから、この解は $a_{1}=9$ に限られる。よって、求める整数$n$は$$\color{red}{19,29,39,49,59,69,79,89,99}$$（下$1$桁が$9$であるような$2$桁の整数）である。