合成関数の漸近展開を簡単に求める方法

複雑な関数の漸近展開を求める際、いちいち微分していると計算ミスを誘発する危険性があります。本稿では合成関数の漸近展開を簡単に求める方法を紹介します。

※ランダウの記号と漸近展開については「ランダウの記号と漸近展開の2通りの求め方」をご覧下さい！

 漸近展開は合成しよう！

合成関数を漸近展開したものは漸近展開を合成した関数に一致します。「合成関数の漸近展開＝漸近展開の合成」という関係を使えば、面倒で煩雑な計算から解放されること請け合いです。

それでは、いくつかの例で見ていきましょう！

例１： $f(x)=\sin^2 x$ を4次まで展開

普通に微分計算すると、

$f^{(1)}(x) =2\cos\left(x\right)\sin\left(x\right)$
$f^{(2)}(x) = 2\cos^2\left(x\right)-2\sin^2\left(x\right)$
$f^{(3)}(x) = -8\cos\left(x\right)\sin\left(x\right)$
$f^{(4)}(x) = f^{(4)}(x) =8\sin^2\left(x\right)-8\cos^2\left(x\right)$

となるので、$$\small \begin{aligned}
f(x) &=f(0)+\frac{f^{(1)}(0)}{1 !} x+\frac{f^{(2)}(0)}{2 !} x^{2}+\frac{f^{(3)}(0)}{3 !} x^{3}+\frac{f^{(4)}(0)}{4 !} x^{4}+o\left(x^{4}\right) \\
&=0+0+x^{2}+0-\frac{1}{3} x^{4}+o\left(x^{4}\right) \\
&=\color{red}{x^{2}-\frac{1}{3} x^{4}+o\left(x^{4}\right)}
\end{aligned}$$と求められます。

一方、$\sin x$ の漸近展開を2乗する方法だと、$$\small \begin{aligned}
f(x) &=\left(x-\frac{1}{3 !} x^{3}+o\left(x^{4}\right)\right)^{2} \\
&=x^{2}+\frac{1}{36} x^{6}-2 \cdot x \cdot \frac{1}{3 !} x^{3}+o\left(x^{4}\right) \\
&=\color{red}{x^{2}-\frac{1}{3} x^{4}+o\left(x^{4}\right)}
\end{aligned}$$となり、微分計算がほとんど不要です。$\sin x$ のような代表的な関数のマクローリン展開の式さえ覚えておけば、直ちに漸近展開の結果が得られます。

例２： $f(x)=\log(\sin x + 1)$ を3次まで展開

普通に微分計算すると、

$f^{(1)}(x) = \dfrac{\cos x}{\sin x+1}$
$f^{(2)}(x) = -\dfrac{\sin^2 x+\sin x+\cos^2 x}{\left(\sin x+1\right)^2}$
$f^{(3)}(x) = \dfrac{\cos x\left(2\sin^2 x+\sin x+2\cos^2 x-1\right)}{\left(\sin x+1\right)^3}$

となるので、$$\small \begin{aligned}
f(x) &=f(0)+\frac{f^{(1)}(0)}{1 !} x+\frac{f^{(2)}(0)}{2 !} x^{2}+\frac{f^{(3)}(0)}{3 !} x^{3}+o\left(x^{3}\right) \\
&=\color{red}{x-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{6} x^{3}+o\left(x^{3}\right)}
\end{aligned}$$と求められます。こうやって書いてしまうと何でもなさそうに見えますが、微分計算が結構面倒です。

一方、$\log (x+1)$ の漸近展開に $\sin x$ の漸近展開を代入する方法だと、$$\small \begin{aligned}
f(x) &=\left(x-\frac{1}{3 !} x^{3}+o\left(x^{3}\right)\right) \\ & \quad -\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{3 !} x^{3}+o\left(x^{3}\right)\right)^2 \\ & \quad \quad +\frac{1}{3}\left(x-\frac{1}{3 !} x^{3}+o\left(x^{3}\right)\right)^3+o(x^3) \\
&=x-\frac{1}{3 !} x^{3}+o\left(x^{3}\right) -\frac{1}{2}\left(x^2+o\left(x^{3}\right)\right) \\ & \quad \quad +\frac{1}{3}\left(x^3+o\left(x^{3}\right)\right)+o(x^3) \\
&=\color{red}{x-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{6} x^{3}+o\left(x^{3}\right)}
\end{aligned}$$となります。見た目はイカツイですが、4次以上の項は切り捨てればよいので、あまり真面目に計算する必要はありません。

なお、$\log(x+1)=x-\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{3}}{3}+o(x^3)$ です。覚えていなければ求めればよいだけです。

例３： $f(x)=\sqrt{\cos\left(2x\right)+x^2}$ を4次まで展開

普通に微分計算すると、

$f^{(1)}(x) = \dfrac{x-\sin\left(2x\right)}{\sqrt{\cos\left(2x\right)+x^2}}$
$f^{(2)}(x) = \small -\dfrac{\sin^2\left(2x\right)-2x\sin\left(2x\right)+2\cos^2\left(2x\right)+\left(2x^2-1\right)\cos\left(2x\right)}{\left(\cos\left(2x\right)+x^2\right)^\frac{3}{2}}$

･･･となります。3次以降の導関数は横幅に制限がある関係で掲載していません。どうしても見たいという方は以下のタブを開いて下さい。

以上より、$f(0) = 1$、$f^{(1)}(0) = 0$、$f^{(2)}(0) = -1$、$f^{(3)}(0) = 0$、$f^{(4)}(0) = 5$ となるので、$$\small \begin{aligned}
f(x) &=f(0)+\frac{f^{(1)}(0)}{1 !} x+\frac{f^{(2)}(0)}{2 !} x^{2}+\frac{f^{(3)}(0)}{3 !} x^{3}+\frac{f^{(4)}(0)}{4 !} x^{4}+o\left(x^{4}\right) \\
&=1+0+\frac{-1}{2!}x^{2}+0+\frac{5}{4!} x^{4}+o\left(x^{4}\right) \\
&=\color{red}{1-\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{5x^4}{24}+o(x^4)}
\end{aligned}$$と求められます。･･･が、微分計算がとんでもなく面倒です。

それでは、代入法で求めてみましょう。まず$$\cos x = 1-\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24}+o(x^4)$$より、$\cos 2x+x^2$ の漸近展開は$$\begin{aligned} & \quad \left(1-\dfrac{(2x)^2}{2} + \dfrac{(2x)^4}{24}+o(x^4)\right)+x^2 \\ &= 1-x^2 + \dfrac{2}{3}x^4+o(x^4) \end{aligned}$$と求められます。したがって、$$\small \cos 2x+x^2-1=-x^2 + \dfrac{2}{3}x^4+o(x^4) \quad \cdots (1)$$となります。

いま、$\sqrt{x+1}$ の漸近展開は$$\small 1+\frac{x}{2}-\frac{x^{2}}{8}+\frac{x^{3}}{16}-\frac{5 x^{4}}{128}+o\left(x^{4}\right) \quad \cdots (2)$$なので、この$x$の部分に$(1)$の右辺を代入したものが求める式となります。計算が大変そうに見えますが、$(1)$の右辺は2次以上なので、$(2)$の3次以上の項は無視できます。したがって、$$\begin{aligned} & \quad \sqrt{\cos 2x+x^2} \\ &= 1+\frac{1}{2}\left(-x^2 + \dfrac{2}{3}x^4+o(x^4)\right) \\ & \quad-\frac{1}{8}\left(-x^2 + \dfrac{2}{3}x^4+o(x^4)\right)^{2}+o\left(x^{4}\right) \\ &= 1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{3} – \dfrac{x^4}{8}+o(x^4) \\ &= \color{red}{1-\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{5x^4}{24}+o(x^4)} \end{aligned}$$と求められます。

「合成関数の漸近展開＝漸近展開の合成」という関係を用いた導出法を用いることで、微分計算によるケアレスミスを回避することができます。この方法は計算結果の検算にも使えるので、知っておいて損は無いでしょう！