早稲田大学2019年前期(先進理工)数学第３問

解答例

（１）

ガウス記号の定義から、$${\displaystyle \frac{1}{\sin {\displaystyle \frac{1}{n}}}}-1<\left[{\displaystyle \frac{1}{\sin {\displaystyle \frac{1}{n}}}}\right]\leqq {\displaystyle \frac{1}{\sin {\displaystyle \frac{1}{n}}}}$$が成り立つ。これに${\displaystyle \frac{1}{n}}$を掛けると、$${\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{n}}}{\sin {\displaystyle \frac{1}{n}}}}-{\displaystyle \frac{1}{n}}<{\displaystyle \frac{1}{n}}\left[{\displaystyle \frac{1}{\sin {\displaystyle \frac{1}{n}}}}\right]\leqq {\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{n}}}{\sin {\displaystyle \frac{1}{n}}}}$$となる。ここで右辺について$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{n}}}{\sin {\displaystyle \frac{1}{n}}}}=1$$であり、左辺について$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}({\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{n}}}{\sin {\displaystyle \frac{1}{n}}}}-{\displaystyle \frac{1}{n}})=1$$となるから、はさみうちの原理より、求める極限値は $1$ である。

（２）

ガウス記号の定義より $\sqrt{k}-1<[\sqrt{k}]\leqq \sqrt{k}$ が成り立つから、$$\sum _{k=1}^n(\sqrt{k}-1)<\sum _{k=1}^n[\sqrt{k}]\leqq \sum _{k=1}^n\sqrt{k}$$ $$\therefore \sum _{k=1}^n\sqrt{k}-n<\sum _{k=1}^n[\sqrt{k}]\leqq \sum _{k=1}^n\sqrt{k}$$が成り立つ。これに${\displaystyle \frac{1}{n\sqrt{n}}}$を掛けると、$$\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\sqrt{\frac{k}{n}}-\frac{1}{\sqrt{n}}<\frac{1}{n\sqrt{n}}\sum _{k=1}^n[\sqrt{k}]\leqq \frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\sqrt{\frac{k}{n}}$$を得る。ここで、$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\sqrt{\frac{k}{n}}={\int }_0^1\sqrt{x}dx={\left[\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}\right]}_0^1=\frac{2}{3}$$および、$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\sqrt{\frac{k}{n}}-\frac{1}{\sqrt{n}})=\frac{2}{3}$$であるから、はさみうちの原理より、求める極限値は ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ である。