今日は慈恵医大の整数問題を紹介します。
《問題》
定数$p$は素数とし、条件$$a(ab-p^2)=c^2、b \leqq 2c$$をみたす自然数の組$(a,b,c)$を考える。$a$が素数であるとき、次の問いに答えよ。
（１）自然数の組$(a,b,c)$の個数を、$p$を用いて表せ。
（２）$a,b,c$の最大公約数が$1$となるような自然数の組$(a,b,c)$の個数を、$p$を用いて表せ。
（東京慈恵会医大2017 医（医）第３問）
不定方程式からの出題です。個人的には個数を数える問題はあまり好きではありませんが･･･。
$a$は素数ですから$c$は$a$の倍数になり、$c \equiv ka$（$k \in \mathbb{N}$）などと置けます。すると与式は
$$a(ab-p^2)=k^2 a^2$$
$$∴ab-p^2=k^2 a$$
$$∴(b-k^2)a=p^2$$
と変形でき、$a$が素数であることから $a=p$ に限られます。よって自然数の組$(a,b,c)$は
$$(a,b,c)=(p,k^2+p,kp)$$
となることが分かります。ここでもう一つの条件式 $b \leqq 2c$ を使います。これより$$k^2+p \leqq 2kp$$となります。$2kp$を移項して平方完成すると$$(k-p)^2-p^2+p \leqq 0$$を得ます。この放物線の軸が $k=p$ なので $k=p$ を中心に調べていけばよいことになります。
そこで $f(k)=(k-p)^2-p^2+p$ と置くと、$f(0)=p\ (>0)$、$f(1)=1-p\ (<0)$となるので、不等式を満たすような$k$は $k=p$ を中心として前後に $p-1$ 個ずつあることが分かります。故に（１）で求める個数は（前後の分と $k=p$ も入れて）$2p-1$ 個となります。
次に（２）ですが、$a$と$c$は$p$の倍数であり既に互いに素ではないので、$a,b,c$の最大公約数が$1$となるためには、$b$が$a$及び$c$と互いに素であること、即ち $b\ (=k^2+p)$ が素数$p$と互いに素であることが必要です。
つまり$k$が素数$p$と互いに素であればよいので、（１）で調べた $2p-1$ 個の$k$から$p$の倍数になるものを除けばよいことが分かります。そのような$k$を$1,2,\cdots,2p-1$の中から探すと、$k=p$ のみが該当します。
よって（２）で求める個数は $k=p$ の分を除いて $2p-2$ 個となります。
（分かりにくいと感じたら図を描いてみましょう）
個数を求めるところがこの問題の難所です。$k$について解けば$$p-\sqrt{p^2-p} \leqq k \leqq p+\sqrt{p^2-p} $$となるので、ここからアプローチすることも可能です。一般に$n >1$ならば $0 \ \left( <\dfrac{1}{2} \right) < n-\sqrt{n^2-n} < 1$ が成立することはオーダーの感覚として身に付けておくと良いでしょう。分数化すれば$$\begin{align} p-\sqrt{p^2-p} &=\dfrac{p^2-(p^2-p)}{p+\sqrt{p^2-p} } \\ &=\dfrac{p}{p+\sqrt{p^2-p} } \end{align}$$となるので当然と言えば当然ですが。