量子力学：スピン1/2系の固有状態とエルミート性に関する証明

スピン1/2系の固有状態とエルミート性に関する簡単なメモ書きです。記号の使い方はJ.J.Sakurai著「現代の量子力学」に準拠しています。

※参考：量子力学：エルミート演算子の性質に関する証明

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・前提

一般に演算子（ここでは$A$と表す）はケット$|a⟩$に対して左から作用し、$$A|a⟩$$は別のケットになる。

一般に$A|a⟩$は$|a⟩$の定数倍ではないが、演算子$A$の固有ケットと呼ばれ$|a^{\prime }⟩,|a^{\prime \prime }⟩,|a^{\prime \prime \prime }⟩,\dots$のような記号で表される重要なケットが存在する。これらは$$A|a^{\prime }⟩=a^{\prime }|a^{\prime }⟩$$ $$A|a^{\prime \prime }⟩=a^{\prime \prime }|a^{\prime \prime }⟩$$ $$⋮$$を満たしている。ここで小文字の$a^{\prime }$などは定数であり、$\{a^{\prime },a^{\prime \prime },a^{\prime \prime \prime },\dots \}$は演算子$A$の固有値という。

固有ケットに対応する物理的状態は固有状態と呼ばれる。例えばスピン${\displaystyle \frac{1}{2}}$系（$m=1/2$）の場合、固有値$\{a^{\prime },a^{\prime \prime },a^{\prime \prime \prime },\dots \}$と固有ケットの関係は$$S|S;+⟩={\displaystyle \frac{\hslash }{2}}|S;+⟩$$ $$S|S;-⟩={\displaystyle \frac{\hslash }{2}}|S;-⟩$$のようになる。これらはまとめて$$S|S;\pm ⟩=\pm {\displaystyle \frac{\hslash }{2}}|S;\pm ⟩$$のように表記される。つまりこの場合は$|S;\pm ⟩$が角運動量演算子$S$の固有ケットであり、その固有値は$\pm {\displaystyle \frac{\hslash }{2}}$ということになる。

以下ではこのことを前提とする。

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・証明①

$$\begin{array}{rl}⟨A⟩& =\sum _{a^{\prime }}\sum _{a^{\prime \prime }}⟨\alpha |a^{\prime \prime }⟩⟨a^{\prime \prime }|A|a^{\prime }⟩⟨a^{\prime }|\alpha ⟩\\ & =\sum _{a^{\prime }}{a}^{\prime }\underset{a^{\prime }\text{を得る確率}}{\underbrace{{\left|⟨a^{\prime }|\alpha ⟩\right|}^2}}\end{array}$$の証明

$$\begin{array}{rl}⟨A⟩& =\sum _{a^{\prime }}\sum _{a^{\prime \prime }}⟨\alpha |a^{\prime \prime }⟩⟨a^{\prime \prime }|A|a^{\prime }⟩⟨a^{\prime }|\alpha ⟩\\ & =\sum _{a^{\prime }}⟨\alpha |a^{\prime }⟩⟨a^{\prime }|A|a^{\prime }⟩⟨a^{\prime }|\alpha ⟩\\ & (\because ⟨a^{\prime \prime }|A|a^{\prime }⟩=⟨a^{\prime }|A|a^{\prime }⟩{\delta }_{a^{\prime }{a}^{\prime \prime }})\\ \\ & =\sum _{a^{\prime }}⟨\alpha |a^{\prime }⟩a^{\prime }⟨a^{\prime }|\alpha ⟩\\ & (\because ⟨a^{\prime }|A|a^{\prime }⟩=a^{\prime })\\ \\ & =\sum _{a^{\prime }}{a}^{\prime }{⟨a^{\prime }|\alpha ⟩}^{\ast }⟨a^{\prime }|\alpha ⟩\\ & =\sum _{a^{\prime }}{a}^{\prime }{\left|⟨a^{\prime }|\alpha ⟩\right|}^2\end{array}$$ここで${\left|⟨a^{\prime }|\alpha ⟩\right|}^2$が$a^{\prime }$という値を得る確率であることに注意すると、これは期待値の定義そのものである。いま$a^{\prime }$は測定値だから、これにより期待値が測定値の平均になっていることが理解できる。

※${\delta }_{a^{\prime }{a}^{\prime \prime }}$は「クロネッカーのデルタ」であり、その値は $a^{\prime }=a^{\prime \prime }$ の場合のみ$1$をとり、それ以外の場合は$0$となる。

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・証明②

ブラケットによる角運動量演算子$S_x$、$S_y$の構成

演算子について$$A=\sum _{a^{\prime }}{a}^{\prime }|a^{\prime }⟩⟨a^{\prime }|$$が成立することを既知とすると、$$S_x=\frac{\hslash }{2}[\left(|S_x;+⟩⟨S_x;+|\right)-\left(|S_x;-⟩⟨S_x;-|\right)]$$と書き下せる。

ここで$$|S_x;+⟩={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}|+⟩+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}{e}^{i{\delta }_1}|-⟩$$ $$|S_x;-⟩={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}|+⟩-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}{e}^{i{\delta }_1}|-⟩$$であり、これより$$⟨S_x;+|={|S_x;+⟩}^{†}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}⟨+|+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}{e}^{-i{\delta }_1}⟨-|$$ $$⟨S_x;-|={|S_x;-⟩}^{†}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}⟨+|-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}{e}^{-i{\delta }_1}⟨-|$$が導かれるから、$$\begin{array}{rl}& |S_x;+⟩⟨S_x;+|\\ & =({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}|+⟩+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}{e}^{i{\delta }_1}|-⟩)({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}⟨+|+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}{e}^{-i{\delta }_1}⟨-|)\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}(|+⟩+e^{i{\delta }_1}|-⟩)(⟨+|+e^{-i{\delta }_1}⟨-|)\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}[(|+⟩⟨+|)+(e^{i{\delta }_1}|-⟩⟨+|)+(e^{-i{\delta }_1}|+⟩⟨-|)+(|-⟩⟨-|)]\end{array}$$および$$\begin{array}{rl}& |S_x;-⟩⟨S_x;-|\\ & =({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}|+⟩-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}{e}^{i{\delta }_1}|-⟩)({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}⟨+|-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}{e}^{-i{\delta }_1}⟨-|)\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}(|+⟩-e^{i{\delta }_1}|-⟩)(⟨+|-e^{-i{\delta }_1}⟨-|)\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}[(|+⟩⟨+|)-(e^{i{\delta }_1}|-⟩⟨+|)-(e^{-i{\delta }_1}|+⟩⟨-|)+(|-⟩⟨-|)]\end{array}$$となる。よって$$\begin{array}{rl}& \left(|S_x;+⟩⟨S_x;+|\right)-\left(|S_x;-⟩⟨S_x;-|\right)\\ & =(e^{i{\delta }_1}|-⟩⟨+|)+(e^{-i{\delta }_1}|+⟩⟨-|)\end{array}$$となるから、$$\begin{array}{rl}{S}_x& =\frac{\hslash }{2}[\left(|S_x;+⟩⟨S_x;+|\right)-\left(|S_x;-⟩⟨S_x;-|\right)]\\ & =\frac{\hslash }{2}[e^{-i{\delta }_1}(|+⟩⟨-|)+e^{i{\delta }_1}(|-⟩⟨+|)]\end{array}$$で与えられる。$S_y$の場合も全く同様にして与えることができる。

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・証明③

角運動量演算子$S_x$、$S_y$、$S_z$の間に交換関係が成り立つことの証明

ここでは位相を$$S_x={\displaystyle \frac{\hslash }{2}}[(|+⟩⟨-|)+(|-⟩⟨+|)]$$ $$S_y={\displaystyle \frac{\hslash }{2}}[-i(|+⟩⟨-|)+i(|-⟩⟨+|)]$$として考える。$$

$$\begin{array}{rl}& S_x{S}_y-S_y{S}_x\\ & ={\displaystyle \frac{\hslash }{2}}[(|+⟩⟨-|)+(|-⟩⟨+|)]\cdot {\displaystyle \frac{\hslash }{2}}[-i(|+⟩⟨-|)+i(|-⟩⟨+|)]\\ & -{\displaystyle \frac{\hslash }{2}}[-i(|+⟩⟨-|)+i(|-⟩⟨+|)]\cdot {\displaystyle \frac{\hslash }{2}}[(|+⟩⟨-|)+(|-⟩⟨+|)]\\ & =-i{\left({\displaystyle \frac{\hslash }{2}}\right)}^2[(|+⟩⟨-|)+(|-⟩⟨+|)][(|+⟩⟨-|)-(|-⟩⟨+|)]\\ & +i{\left({\displaystyle \frac{\hslash }{2}}\right)}^2[(|+⟩⟨-|)-(|-⟩⟨+|)][(|+⟩⟨-|)+(|-⟩⟨+|)]\\ & =-i{\left({\displaystyle \frac{\hslash }{2}}\right)}^2[\cancel{(|+⟩⟨-||+⟩⟨-|)}+(|-⟩⟨+||+⟩⟨-|)-(|+⟩⟨-||-⟩⟨+|)-\cancel{(|-⟩⟨+||-⟩⟨+|)}]\\ & +i{\left({\displaystyle \frac{\hslash }{2}}\right)}^2[\cancel{(|+⟩⟨-||+⟩⟨-|)}-(|-⟩⟨+||+⟩⟨-|)+(|+⟩⟨-||-⟩⟨+|)-\cancel{(|-⟩⟨+||-⟩⟨+|)}]\\ & =-i{\left({\displaystyle \frac{\hslash }{2}}\right)}^2[(|-⟩⟨+||+⟩⟨-|)-(|+⟩⟨-||-⟩⟨+|)]\\ & +i{\left({\displaystyle \frac{\hslash }{2}}\right)}^2[-(|-⟩⟨+||+⟩⟨-|)+(|+⟩⟨-||-⟩⟨+|)]\\ & =-i{\left({\displaystyle \frac{\hslash }{2}}\right)}^2[(|-⟩⟨-|)-(|+⟩⟨+|)]+i{\left({\displaystyle \frac{\hslash }{2}}\right)}^2[-(|-⟩⟨-|)+(|+⟩⟨+|)]\\ & =i\hslash \left({\displaystyle \frac{\hslash }{2}}\right)[(|+⟩⟨+|)-(|-⟩⟨-|)]\\ & =i\hslash S_z\end{array}$$より、交換関係が成り立っている。なお、途中で$$⟨+|+⟩=⟨-|-⟩=1$$の関係を用いた。

※${\epsilon }_{xyz}$は「エディントンのイプシロン」や「レヴィ＝チヴィタの記号」などと呼ばれる数学記号である。$${\epsilon }_{ijk}=\{\begin{array}{ll}1& ((i,j,k)=(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2))\\ -1& ((i,j,k)=(1,3,2),(3,2,1),(2,1,3))\\ 0& (\mathrm{otherwise})\end{array}$$

※同様に$$S_x{S}_y-S_y{S}_x=0$$が示されるため、反交換関係$$\{S_i,S_j\}={\displaystyle \frac{1}{2}}{\hslash }^2{\delta }_{ij}$$の成立も確認できる。

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