問題#A009 ★★☆☆
$8n-2n^3$は$6$の倍数であることを示せ。
また、$m^3 n-mn^3$は任意の整数$m$、$n$に対して$6$の倍数であることを示せ。
《ポイント》
整式の倍数判定に関する問題です。基本は因数分解です。なお、隣接する$k$個の整数の積は$k!$の倍数となることが知られています。
《解答例》
$\begin{align}8n-2n^3 &=6n-2n(n^2-1) \\ &=6n-2(n-1)n(n+1) \end{align}$
と変形できる。$(n-1)n(n+1)$は隣接する３つの整数の積であるから$6$の倍数である。故に $6n-2(n-1)n(n+1)$ 、即ち $8n-2n^3$ は任意の整数$n$に対して$6$の倍数であることが示された。
$\begin{align}& \ \ \ \ \ m^3 n-mn^3 \\
&= mn(m^2-n^2) \\
&=mn\{ (m^2-1)-(n^2-1) \} \\
&=mn\{ (m-1)(m+1)-(n-1)(n+1) \} \\
&=n (m-1)m(m+1)-m (n-1)n(n+1) \end{align}$
$(m-1)m(m+1)$ および $(n-1)n(n+1)$ は隣接する３つの整数の積であるから$6$の倍数である。故に $m^3 n-mn^3$ は任意の整数$m$、$n$に対して$6$の倍数であることが示された。
《コメント》
隣接$k$整数の積が$k!$の倍数になるという事実の証明は、10年に一回くらいはどこかの大学で出題されているような気がしますが、実用上、単なる知識として知っておけば良いでしょう。
（出典：大阪大1959年(代数)第1問など）