問題#A010

問題#A010　★★☆☆

$123456789$は$9$の倍数であることを示せ。

次に、整数$n$が$9$の倍数ならば、整数$n$の各位の数の和が$9$で割り切れることを示せ。また、整数$n$の各位の数の和が$9$で割り切れるならば、整数$n$が$9$の倍数であることを示せ。

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《ポイント》

$9$の倍数の倍数判定法に関する問題です。これはちょっとした知識問題かもしれません･･･。

$9$の倍数の倍数判定法は皆さんご存知の通り、

「各位の数の和が$9$で割り切れれば$9$の倍数」

というものです。本問はこの事実を証明する問題です。

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《解答例》

$123456789=9\cdot 13717421$より、$123456789$は$9$の倍数である。

整数$n$を$k$桁の整数とし、10進法表示を$${\overline{a_k{a}_{k-1}\cdots a_2{a}_1}}_{(10)}$$とすると、$$n={10}^{k-1}{a}_k+{10}^{k-2}{a}_{k-1}+\cdots +10a_2+a_1$$と表せる。ここで

$\begin{array}{rl}& {10}^k\\ & =(9+1{)}^k\\ & =9^k+9^{k-1}{}_k{\mathrm{C}}_1+\cdots +9^1{}_k{\mathrm{C}}_{k-1}+1\\ & =9N+1(N\in \mathbb{N})\end{array}$

であるという事実を用いると、
$$\begin{array}{rl}& n\\ & =(9+1{)}^{k-1}{a}_k+(9+1{)}^{k-2}{a}_{k-1}+\cdots +(9+1)a_2+a_1\\ & =(9N_k+1)a_k+(9N_{k-1}+1)a_{k-1}+\cdots +(9+1)a_2+a_1\\ & =9N^{\prime }+(a_k+a_{k-1}+\cdots +a_2+a_1)\end{array}$$と変形できる。

$9N^{\prime }$は$9$の倍数であるから、整数$n$が$9$の倍数ならば$a_k+a_{k-1}+\cdots +a_2+a_1$も$9$の倍数でなければならない。故に整数$n$が$9$の倍数ならば、整数$n$の各位の数の和が$9$で割り切れることが示された。

また上式より、$a_k+a_{k-1}+\cdots +a_2+a_1$が$9$で割り切れるならば、整数$n$は$9$の倍数となるから、整数$n$の各位の数の和が$9$で割り切れるならば、整数$n$が$9$の倍数であることが示された。

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《コメント》

今回は$9$の倍数判定法がテーマでしたが、同様に$3$の倍数判定法も導けますし、$11$の倍数判定法も定義することができます。

$11$の倍数判定法は ${10}^k=(11-1{)}^k$ を利用するだけです。例えば$516791$は$11$の倍数ですが、一の位から一つ飛ばしで各位の数を足していった和（$1+7+1=9$）と十の位から一つ飛ばしで各位の数を足していった和（$9+6+5=20$）の差が$11$の倍数なので$516791$は$11$の倍数です。

一の位から一つ飛ばしで各位の数を足していった和 $S_1$ と十の位から一つ飛ばしで各位の数を足していった和 $S_2$ の差 $S_1-S_2$ が$11$ の倍数なら、その整数は$11$の倍数である、というのが$11$の倍数判定法です。（倍数かどうかを判定するだけなので $S_1-S_2$ の符号はどうでもいいです）

これを使えば、例えば「$53492089143119$」なんかが$11$の倍数であることがすぐ分かりますね。興味のある方は是非とも証明にチャレンジしてみてください。

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