A 倍数と約数の問題
問題一覧（#A001～#A020）
問題番号の横に星印で難しさの目安を示しておきますが、あまり気にしないで解いてみて下さい。（★が多い＝難しい）
最初から全問正解出来る人なんていません！解答を読み漁るだけでも勉強になりますから、取り敢えず一周してみることが重要です。特に整数問題に苦手意識がある人は先に「整数第2章」の内容を流し読んでおくと良いでしょう。
» 問題#A001
» 問題#A002
» 問題#A003
» 問題#A004 ある正の整数$n$で$2520$を割ると、ちょうど平方数（整数の２乗）になるという。このような$n$の最小値を求めよ。また、 ある正の整数$N$を$2520$に乗じると、ちょうど平方数になるという。このような$N$の最小値を求めよ。 » 問題#A004を閉じる
問題#A004 ★☆☆☆
» 問題#A005 正の約数の個数が$8$個で、正の約数の総和が$72$であるような正の整数$n$を求めよ。 ただし正の約数には$n$と$1$を含めるものとする。 » 問題#A005を閉じる
問題#A005 ★★☆☆
» 問題#A006
» 問題#A007
» 問題#A008
» 問題#A009 $8n-2n^3$は$6$の倍数であることを示せ。 また、$m^3 n-mn^3$は任意の整数$m$、$n$に対して$6$の倍数であることを示せ。 » 問題#A009を閉じる
問題#A009 ★★☆☆
» 問題#A010 $123456789$は$9$の倍数であることを示せ。 次に、整数$n$が$9$の倍数ならば、整数$n$の各位の数の和が$9$で割り切れることを示せ。また、整数$n$の各位の数の和が$9$で割り切れるならば、整数$n$が$9$の倍数であることを示せ。 » 問題#A010を閉じる
問題#A010 ★☆☆☆
» 問題#A011
» 問題#A012 ある$4$桁の整数$\overline{abcd}$に$9$を掛けると各位の数が反転して$\overline{dcba}$になるという。このような整数$\overline{abcd}$をすべて求めよ。 » 問題#A012を閉じる
問題#A012 ★★☆☆
» 問題#A013 ある$4$桁の整数$\overline{abcd}$は上$2$桁の数$\overline{ab}$の2乗と下$2$桁の数$\overline{cd}$の2乗の和に等しい。つまり、等式$$\overline{abcd}=\overline{ab}^2+\overline{cd}^2$$が成立する。このような整数$abcd$をすべて求めよ。 » 問題#A013を閉じる
問題#A013 ★★★☆
» 問題#A014 ある$4$桁の整数$\overline{abcd}$は上$2$桁の数$\overline{ab}$と下$2$桁の数$\overline{cd}$の和の2乗に等しい。つまり、等式$$\overline{abcd}=\left( \overline{ab}+\overline{cd} \right)^2$$が成立する。このような整数$abcd$をすべて求めよ。 » 問題#A014を閉じる
問題#A014 ★★★☆
» 問題#A015 ある$4$桁の整数$\overline{abcd}$は、各位の数を反転させてできる$4$桁の整数$\overline{dcba}$の倍数になるという。ただし$\overline{abcd} \ne \overline{dcba}$とする。 （１）$1 \leqq d \leqq 4$を示せ。 （２）このような整数$\overline{abcd}$をすべて求めよ。 » 問題#A015を閉じる
問題#A015 ★★★☆
» 問題#A016 正の整数の２乗となる数を平方数という。 （１）$\overline{aabb}$と表される$4$桁の平方数をすべて求めよ。 （２）$\overline{cccddd}$と表される$6$桁の平方数は存在しないことを示せ。 » 問題#A016を閉じる
問題#A016 ★★☆☆
» 問題#A017
» 問題#A018
» 問題#A019 （１）$\dfrac{2n}{n+4}$が整数となるような整数$n$をすべて求めよ。 （２）$\dfrac{n^2+2n}{n+4}$が整数となるような整数$n$をすべて求めよ。 » 問題#A019を閉じる
問題#A019 ★★☆☆
» 問題#A020 $n$を正の整数とする。 （１）$n^2$ と $2n+1$ は互いに素であることを示せ。 （２）$n^2+2$ が $2n+1$ の倍数になる$n$をすべて求めよ。 » 問題#A020を閉じる
問題#A020 ★★☆☆