今回はフェルマーの小定理に関する問題です。$2017$が素数であることは周知の事実ですよね･･･(笑)？
《問題#18》
$2^{2017}$を$2017$で割ったときの余りを求めよ。
（創作問題）
$2017$が素数であることを使えば簡単に示すことができますが、もちろんフェルマーの小定理を知らなくても初等的に解決することができます。
» 答えはこちら 答えは $\color{red}{2}$ です。 » 閉じる
創作整数問題#17（解き方）
| 等式 $m^2+15=2^n$ を満たす自然数の組$(m,n)$をすべて求めよ。 |
$3$の倍数でない整数の $\text{mod}\ 3$ における平方剰余が$1$となることに着目して話を進めます。詳しい証明は整数第３章第１節問題#B005を参照してもらえればと思いますが、実戦上は解答の隅に
「 $(3N \pm 1)^2=3(3N^2 \pm 2N)+1$ となるから、$3$の倍数でない整数の平方を$3$で割ったときの余りは$1$となる」
などと簡単に書いておくのが無難でしょう。
右辺は$3$の倍数ではないので$m$は$3$の倍数にはなりません。すると$m^2$を$3$で割ったときの余りは$1$に限られますから、右辺についても$3$で割ったときの余りが$1$となる必要があります。$2^n$を$3$で割ったときの余りは、$n$が奇数のとき$2$、$n$が偶数のとき$1$となるので、$n$は偶数でなければなりません。そこで正の整数$k$を用いて $n=2k$ と置くと、与式は$$m^2+15=2^{2k}$$ $$\therefore 15=2^{2k}-m^2$$ $$\therefore 15=(2^k-m)(2^k+m)$$と変形できます。$15=3 \cdot 5$であり、$2^k-m<2^k+m$ ですからこれを満たす組$(2^k-m,2^k+m)$の候補は$$(1,15)、(3,5)$$の２組に限られます。それぞれ$(m,n)=(7,6)、(1,4)$に対応するので、求める組$(m,n)$は$$\color{red}{(m,n)=(1,4)、(7,6)}$$となります。
（コメント）
必要条件を文字化するという操作（今回で言うと $n=2k$ という置き換えがこれに当たります）は整数問題を攻略する上で非常に大切な手法の一つです。置き換えによって解をどんどん絞り込んでいきましょう。問題#17は類題が作りやすいタイプの整数問題なので数年に一度はどこかの大学でこういった問題が出題されているような気がします。