問題6.2.1b
つぎの整級数の収束半径を求めよ。
（５）$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=0} \left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)x^n$
（６）$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=0} a^{n^2}x^n$
（７）$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=0} \dfrac{(2n-1)!!}{(2n)!!}x^n$
（８）$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} \dfrac{(2n-1)!!}{n^n}x^n$
《ポイント》
定理6.2.3により収束半径を計算します。数列によってダランベールの計算法とコーシーの計算法のどちらが適しているかが変わるので注意します。
《解答例》
（５）$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=0} \left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)x^n$
$a_{n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ とすると、$$\begin{align} & \lim _{n \to \infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right| \\ =& \lim _{n \to \infty} \dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}}
\\ =& \lim _{n \to \infty} \dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}}\cdot\dfrac{\left(\dfrac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\right)}{\left(\dfrac{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}\right)}
\\ =& \lim _{n \to \infty} \dfrac{\{(n+1)-n\}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\{(n+2)-(n+1)\}(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1})}
\\ =& \lim _{n \to \infty} \dfrac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}
\\ =& \lim _{n \to \infty} \dfrac{\sqrt{1+\dfrac{1}{n}}+\sqrt{1}}{\sqrt{1+\dfrac{2}{n}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{n}}} \\ =& \dfrac{1+1}{1+1} \\ =& 1 \end{align}$$となるから、収束半径は$$r=1 \ \ \ \cdots (\text{答})$$である。
（６）$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=0} a^{n^2}x^n$
$a_{n}=a^{n^2}$ とすると、$$\begin{align} & \lim _{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt[n]{|a_{n}|}} \\ =& \lim _{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{|a|^{n^2}}} \\ =& \lim _{n \to \infty}\frac{1}{|a|^{n}} \\ =& \begin{cases} \ 0 & (|a|>1) \\ \ 1 & (|a|=1) \\ \infty & (|a|<1) \end{cases} \end{align}$$となるから、収束半径は$$r=\begin{cases} \ 0 & (|a|>1) \\ \ 1 & (|a|=1) \\ \infty & (|a|<1) \end{cases} \ \ \ \cdots (\text{答})$$である。
（７）$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=0} \dfrac{(2n-1)!!}{(2n)!!}x^n$
$a_{n}=a^{n^2}$ とすると、$$\begin{align} & \lim _{n \to \infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right| \\ =& \lim _{n \to \infty} \dfrac{(2n-1)!!/(2n)!!}{(2n+1)!!/(2n+2)!!}
\\ =& \lim _{n \to \infty} \dfrac{2n+2}{2n+1} \\ =& 1 \end{align}$$となるから、収束半径は$$r=1 \ \ \ \cdots (\text{答})$$である。
※ $(2n-1)!!$ は $2n-1$ 以下の正の奇数の総乗を表しており、$(2n)!!$ は $2n$ 以下の正の偶数の総乗を表しています。
（８）$\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} \dfrac{(2n-1)!!}{n^n}x^n$
$a_{n}=\dfrac{(2n-1)!!}{n^n}$ とすると、$$\begin{align} & \lim _{n \to \infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right| \\ =& \lim _{n \to \infty} \dfrac{(2n-1)!!/n^n}{(2n+1)!!/(n+1)^{n+1}}
\\ =& \lim _{n \to \infty} \dfrac{n+1}{2n+1}\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n \\ =& \lim _{n \to \infty} \dfrac{n+1}{2n+1}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \\ =& \dfrac{1}{2} \cdot e \end{align}$$となるから、収束半径は$$r=\dfrac{e}{2} \ \ \ \cdots (\text{答})$$である。
復習例題は設定していません。