【数Ⅲ】タンジェント(tan x)関連の微分積分まとめ

ド忘れされることの多いタンジェントに関する微分・積分計算のまとめです。tanの逆数や逆関数など、その周辺の関数の微積分計算についてもまとめました。

 


本稿では、以下の計算についてまとめています(番号をクリックするとジャンプできます)。

 $\dfrac{d}{dx}\tan x$($\tan x$ の微分)

 $\displaystyle \int \tan x\, dx$($\tan x$ の積分)

 $\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{\tan x}\right)$($\tan x$ の逆数の微分)

 $\displaystyle \int \dfrac{dx}{\tan x}$($\tan x$ の逆数の積分)

 $\dfrac{d}{dx}\tan^{-1} x$($\tan x$ の逆関数の微分)

 $\displaystyle \int \tan^{-1} x\, dx$($\tan x$ の逆関数の積分)

 $\displaystyle \int \tan^{2} x\, dx$(おまけ)

 $\displaystyle \int \tan^{n} x\, dx$($n \geqq 3$)

 

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【① $\dfrac{d}{dx}\tan x$($\tan x$ の微分)】

$\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ の関係式を使います。商の微分公式から示すことができます。

$$\begin{align}&\ \ \ \ \ (\tan x)^{\prime}\\
&=\left(\dfrac{\sin x}{\cos x}\right)^{\prime}\\
&=\dfrac{(\sin x)^{\prime}\cos x-(\cos x)^{\prime}\sin x}{\cos^2 x}\\
&=\dfrac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2 x}\\
&=\color{red}{\dfrac{1}{\cos^2x}}\end{align}$$

 

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【② $\displaystyle \int \tan x\, dx$($\tan x$ の積分)】

積分についても $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ の関係式を使います。対数関数の微分形になっていることを利用します。

$$\begin{align}&\ \ \ \ \ \displaystyle\int \tan xdx\\
&=\displaystyle\int \dfrac{\sin x}{\cos x}dx\\
&=\displaystyle\int -\dfrac{(\cos x)^{\prime}}{\cos x}dx\\
&=\color{red}{-\log|\cos x|+C}\end{align}$$

 

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【③ $\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{\tan x}\right)$($\tan x$ の逆数の微分)】

$\dfrac{1}{\tan x}=\dfrac{\cos x}{\sin x}$ となっているだけなので簡単に微分できますね。

$$\begin{align}&\ \ \ \ \ \left(\dfrac{1}{\tan x}\right)^{\prime}\\
&=\left(\dfrac{\cos x}{\sin x}\right)^{\prime}\\
&=\dfrac{(\cos x)^{\prime}\sin x-(\sin x)^{\prime}\cos x}{\sin^2 x}\\
&=\dfrac{-\sin^2x-\cos^2x}{\sin^2 x}\\
&=-\dfrac{(\sin^2x+\cos^2x)}{\sin^2 x}\\
&=\color{red}{-\dfrac{1}{\sin^2x}}\end{align}$$

 

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【④ $\displaystyle \int \dfrac{dx}{\tan x}$($\tan x$ の逆数の積分)】

積分についても $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ の関係式を使います。対数関数の微分形になっていることを利用します。

$$\begin{align}&\ \ \ \ \ \displaystyle\int \dfrac{dx}{\tan x}\\
&=\displaystyle\int \dfrac{\cos x}{\sin x}dx\\
&=\displaystyle\int \dfrac{(\sin x)^{\prime}}{\sin x}dx\\
&=\color{red}{\log|\sin x|+C}\end{align}$$

 

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【⑤ $\dfrac{d}{dx}\tan^{-1} x$($\tan x$ の逆関数の微分)】

今、$y =\tan^{-1} x$ と置くと、$$x =\tan y$$が成り立ちます。したがって、$\tan$の微分(公式①)より、$$\begin{align}\dfrac{d x}{d y} &=\dfrac{1}{\cos^{2} y} \\ &= 1+\tan^{2} y \\ &= 1+x^{2} \quad (\because x =\tan y) \end{align}$$となるので、両辺の逆数をとって$$\color{red}{\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{1+x^{2}}}$$を得ます。

※式変形の途中で関係式$$1+\tan^{2} x=\dfrac{1}{\cos^{2}x}$$を使いました。これは関係式 $\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$ の両辺を$\cos^{2}x$で割ることで得られます。

 

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【⑥ $\displaystyle \int \tan^{-1} x\, dx$($\tan x$ の逆関数の積分)】

$\tan x$ の逆関数の微分(公式⑤)を利用します。部分積分法によって有理関数を作って処理します。

$$\begin{align}
&\ \ \ \ \ \int \tan ^{-1} x d x \\
&=x \tan ^{-1} x-\int \frac{x}{1+x^{2}} d x \\
&=x \tan ^{-1} x-\frac{1}{2} \int \frac{2 x}{1+x^{2}} d x \\
&=x \tan ^{-1} x-\frac{1}{2} \log \left|1+x^{2}\right|+C \\
&=\color{red}{x \tan ^{-1} x-\frac{1}{2} \log \left(1+x^{2}\right)+C}
\end{align}$$

 

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【⑦ $\displaystyle \int \tan^{2} x\, dx$(おまけ)】

部分積分は使いません。

$$\begin{align}
&\ \ \ \ \ \displaystyle\int \tan^2x\,dx\\
&=\displaystyle\int \left(\dfrac{1}{\cos^2x}-1\right)dx\\
&=\color{red}{\tan x-x+C}
\end{align}$$

 

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【⑧ $\displaystyle \int \tan^{n} x\, dx$($n \geqq 3$)】

$n=3,4,5$ の場合について答えだけ示します。

$$\begin{align} \displaystyle\int \tan^3 x\,dx &=\color{red}{\frac{1}{2 \cos ^{2}x}+\log |\cos x|+C} \\ &=\color{red}{\frac{1}{2}\tan^{2}x+\log |\cos x|+C’} \end{align}$$

$$\begin{align} \displaystyle\int \tan^4 x\,dx &=\color{red}{x-\tan x + \frac{1}{3}\tan^3 x+C} \end{align}$$

$$\begin{align} \displaystyle\int \tan^5 x\,dx &=\color{red}{\frac{1}{4 \cos ^{4}x}-\frac{1}{\cos ^{2}x} -\log |\cos x|+C} \\ &=\color{red}{\frac{1}{4}\tan^{4}x-\frac{1}{2}\tan^{2}x-\log |\cos x|+C’} \end{align}$$

因みに、奇数次のときは$$\begin{align}&\ \ \ \ \ \displaystyle\int \tan^{2k+1}x\,dx \\ &=\displaystyle\sum_{j=1}^{k}(-1)^{k-j}\dfrac{\tan^{2j}x}{2j}+(-1)^{k+1}\log|\cos x|+C \end{align}$$となり、偶数次のときは$$\begin{align}&\ \ \ \ \ \displaystyle\int \tan^{2k}x\,dx \\ &=\displaystyle\sum_{j=1}^k(-1)^{k-j}\dfrac{\tan^{2j-1}x}{2j-1}+(-1)^kx+C \end{align}$$となります。これらの結果は積分漸化式を使って示されます。

 


$\tan x$ の微積計算は数Ⅲの微積単元の中でも苦手意識のある人が多いので、しっかり克服したいですね。積分の計算では答えを微分して検算するのを忘れずに!

 

余談ですが、$\sqrt{\tan x}$ の微分は簡単な割に、積分はかなり難しいです。大学の範囲ですが、置換積分を駆使すると以下の答えが得られるはずです。$\sqrt{\tan x}$ の不定積分は $t=\tan x$ として$$\dfrac{1}{\sqrt{2}} \tan ^{-1}\dfrac{\sqrt{t}-\sqrt{\dfrac{1}{t}}}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}} \tanh ^{-1}\dfrac{\sqrt{t}+\sqrt{\dfrac{1}{t}}}{\sqrt{2}}+C$$もしくは、$$\dfrac{1}{2 \sqrt{2}}\left(-2 \tan ^{-1}(1-\sqrt{2t})+2 \tan ^{-1}(\sqrt{2t}+1)\\ \quad +\log (t-\sqrt{2t}+1)-\log (t+\sqrt{2t}+1)\right)+C $$と表されます。

 

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