【数Ⅲ】1/(x^3-1)の微分積分

昨日の続きです。今回は関数 1/(x^3-1) の導関数と不定積分の導出ついて解説します。関数 x/(x^3-1) や x^2/(x^3-1) についても触れます。

 

 $\dfrac{1}{x^{3}-1}$の導関数の導出

微分すれば良いだけなので、導関数の導出は簡単です。

$$\small \begin{aligned}
& \quad \frac{d}{dx}\left[\frac{1}{x^{3}-1}\right] \\
&=-\frac{\left(x^{3}-1\right)^{\prime}}{\left(x^{3}-1\right)^{2}} \\
&=-\frac{3 x^{2}}{\left(x^{3}-1\right)^{2}}
\end{aligned}$$

 

 $\dfrac{1}{x^{3}-1}$の不定積分の導出

$\dfrac{1}{x^{3}+1}$の場合(こちら)と同様、$\dfrac{1}{x^{3}-1}$の不定積分も高校数学の範囲では求められません(※定積分なら求められる可能性があります)。

大学初年度の数学で取り上げられるタイプの計算です。


まず次のように被積分関数を部分分数分解します。$$\small \begin{aligned} & \quad \int \frac{1}{x^{3}-1} \,dx \\ & =\int \frac{1}{(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)} \,dx \\ & =\int\left(\frac{1}{3(x-1)}-\frac{x+2}{3\left(x^{2}+x+1\right)}\right) dx \\ & =\frac{1}{3} \color{purple}{\int \frac{1}{x-1} \,dx}-\frac{1}{3} \color{blue}{\int \frac{x+2}{x^{2}+x+1} \,dx} \end{aligned}$$ここで、$$\displaystyle \color{purple}{\int \frac{1}{x-1} \,dx}=\log \left|x-1\right|+C^{\prime}$$となります。

続いて$\color{blue}{{\displaystyle\int}\dfrac{x+2}{x^2+x+1}\,dx}$ を求めます。

途中まで計算すると、$$\small \begin{aligned}
& \quad \color{blue}{\int \frac{x+2}{x^2+x+1}\, d x} \\
&=\int\left(\frac{2 x+1}{2\left(x^{2}+x+1\right)}+\frac{3}{2\left(x^{2}+x+1\right)}\right) dx \\
&=\frac{1}{2} \int \frac{2 x+1}{x^{2}+x+1} \,dx+\frac{3}{2} \int \frac{1}{x^{2}+x+1} \,dx \\
&=\frac{1}{2} \int \frac{(x^{2}+x+1)^{\prime}}{x^{2}+x+1} \,dx+\frac{3}{2} \int \frac{1}{x^{2}+x+1} \,dx \\
&=\frac{1}{2} \log (x^{2}+x+1)+C^{\prime\prime}+\frac{3}{2} \int \frac{1}{x^{2}+x+1} \,dx
\end{aligned}$$となります。

ここで、$${\displaystyle\int}\dfrac{1}{x^{2}+x+1} \,dx={\displaystyle\int}\dfrac{1}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\,dx$$と変形し、$\dfrac{\sqrt{3}}{2}u=x+\dfrac{1}{2}$、すなわち $u=\dfrac{2x+1}{\sqrt{3}}$ と置くと、$$\dfrac{du}{dx} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}$$ $$\therefore dx=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,du$$となるから、$$\small \begin{aligned} \int \frac{1}{x^{2}+x+1} \,dx &= {\displaystyle\int}\dfrac{2\sqrt{3}}{3u^2+3}\,du \\ &= \dfrac{2}{\sqrt{3}}{\displaystyle\int}\dfrac{1}{u^2+1}\,du \\ &= \dfrac{2}{\sqrt{3}}\arctan\left(u\right) +C^{\prime\prime\prime} \\ &= \dfrac{2}{\sqrt{3}}\arctan\left(\dfrac{2x+1}{\sqrt{3}}\right) +C^{\prime\prime\prime} \end{aligned}$$となります。

※ここで、$\arctan \theta$ というのは $\tan \theta$ の逆関数を表します。

以上より、求める不定積分は$$\color{red}{\small \dfrac{\log\left|x-1\right|}{3}-\dfrac{\log\left(x^2+x+1\right)}{6}-\dfrac{\arctan\left(\dfrac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)}{\sqrt{3}}+C}$$となります。


$\displaystyle \int_1^\infty \dfrac{1}{x^3-1}\,dx$ や $\displaystyle \int_0^1 \dfrac{1}{x^3-1}\,dx$ は発散します。

また、分子に$x$が乗った関数では第3項の符号が変わって$$\small{\displaystyle\int}\dfrac{x}{x^{3}-1} \,dx=\dfrac{\log\left|x-1\right|}{3}-\dfrac{\log\left(x^2+x+1\right)}{6}-\dfrac{\arctan\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)}{\sqrt{3}}+C$$となり、積分区間の端が$1$の広義積分は発散します。

なお、$$\displaystyle \int \dfrac{x^2}{x^3-1}\,dx=\dfrac{\log\left|x^3-1\right|}{3}+C$$となります。これは $x^2=\dfrac{1}{3}(x^3-1)^{\prime}$ であることを利用すれば求められます。

 

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