【数Ⅲ】1/(x^3+1)の微分積分

本稿では関数 1/(x^3+1) の導関数と不定積分の導出ついて解説します。関数 x/(x^3+1) についても触れます。

 

(関数 $\dfrac{1}{x^{3}-1}$ の微分積分についてはこちらから)

 $\dfrac{1}{x^{3}+1}$の導関数の導出

微分すれば良いだけなので、導関数は簡単に導出できます。

$$\small \begin{aligned}
& \dfrac{d}{dx}\left[\dfrac{1}{x^{3}+1}\right] \\
=&-\dfrac{\left(x^{3}+1\right)^{\prime}}{\left(x^{3}+1\right)^{2}} \\
=&-\dfrac{3 x^{2}+0}{\left(x^{3}+1\right)^{2}} \\
=&\color{red}{-\dfrac{3 x^{2}}{\left(x^{3}+1\right)^{2}}}
\end{aligned}$$

 

 $\dfrac{1}{x^{3}+1}$の不定積分の導出

不定積分の導出は一苦労です。$\dfrac{1}{x^{3}+1}$の不定積分は高校数学の範囲では求められません(※定積分なら求められる可能性があります)。

大学の教養数学の問題演習などで取り上げられる計算です。


まず次のように被積分関数を部分分数分解します。$$\small \begin{aligned} & \quad \int \frac{1}{x^{3}+1} \,dx \\ & =\int \frac{1}{(x+1)\left(x^{2}-x+1\right)} \,dx \\ & =\int\left(\frac{1}{3(x+1)}-\frac{x-2}{3\left(x^{2}-x+1\right)}\right) dx \\ & =\frac{1}{3} \color{purple}{\int \frac{1}{x+1} \,dx}-\frac{1}{3} \color{blue}{\int \frac{x-2}{x^{2}-x+1} \,dx} \end{aligned}$$ここで、$$\displaystyle \color{purple}{\int \frac{1}{x+1} \,dx}=\log \left|x+1\right|+C^{\prime}$$となります。

続いて$\color{blue}{{\displaystyle\int}\dfrac{x-2}{x^2-x+1}\,dx}$ を求めます。

途中まで計算すると、$$\small \begin{aligned}
& \quad \color{blue}{\int \frac{x-2}{x^{2}-x+1}\, d x} \\
&=\int\left(\frac{2 x-1}{2\left(x^{2}-x+1\right)}-\frac{3}{2\left(x^{2}-x+1\right)}\right) dx \\
&=\frac{1}{2} \int \frac{2 x-1}{x^{2}-x+1} \,dx-\frac{3}{2} \int \frac{1}{x^{2}-x+1} \,dx \\
&=\frac{1}{2} \int \frac{(x^{2}-x+1)^{\prime}}{x^{2}-x+1} \,dx-\frac{3}{2} \int \frac{1}{x^{2}-x+1} \,dx \\
&=\frac{1}{2} \log (x^{2}-x+1)+C^{\prime\prime}-\frac{3}{2} \int \frac{1}{x^{2}-x+1} \,dx
\end{aligned}$$となります。

ここで、$${\displaystyle\int}\dfrac{1}{x^{2}-x+1} \,dx={\displaystyle\int}\dfrac{1}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\,dx$$と変形し、$\dfrac{\sqrt{3}}{2}u=x-\dfrac{1}{2}$、すなわち $u=\dfrac{2x-1}{\sqrt{3}}$ と置くと、$$\dfrac{du}{dx} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}$$ $$\therefore dx=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,du$$となるから、$$\small \begin{aligned} \int \frac{1}{x^{2}-x+1} \,dx &= {\displaystyle\int}\dfrac{2\sqrt{3}}{3u^2+3}\,du \\ &= \dfrac{2}{\sqrt{3}}{\displaystyle\int}\dfrac{1}{u^2+1}\,du \\ &= \dfrac{2}{\sqrt{3}}\arctan\left(u\right) +C^{\prime\prime\prime} \\ &= \dfrac{2}{\sqrt{3}}\arctan\left(\dfrac{2x-1}{\sqrt{3}}\right) +C^{\prime\prime\prime} \end{aligned}$$となります。

※ここで、$\arctan \theta$ というのは $\tan \theta$ の逆関数を表します。

以上より、求める不定積分は$$\color{red}{\small \dfrac{\log\left|x+1\right|}{3}-\dfrac{\log\left(x^2-x+1\right)}{6}+\dfrac{\arctan\left(\dfrac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)}{\sqrt{3}}+C}$$となります。


$0$から$\infty$までの広義積分は$$\displaystyle \int_0^\infty \dfrac{1}{x^3+1}\,dx=\frac{2\pi}{3\sqrt{3}}$$と求められます。

また、分子に$x$が乗った関数では第1項と第2項の符号が変わって$$\small{\displaystyle\int}\dfrac{x}{x^{3}+1} \,dx=-\dfrac{\log\left|x+1\right|}{3}+\dfrac{\log\left(x^2-x+1\right)}{6}+\dfrac{\arctan\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)}{\sqrt{3}}+C$$となり、$0$から$\infty$までの広義積分は$$\displaystyle \int_0^\infty \frac{x}{x^3+1}\,dx=\frac{2\sqrt{3}\pi}{9}$$と求められます。

 

 

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