【整式の割り算】剰余の定理の使いどころ

これより、余りは $6x-1$ と求められる。

整式を2次式で割った余りは1次以下の整式となるから、これを $ax+b$ と置き、商を$Q(x)$をすれば$$\begin{array}{rl}& 3x^5-x^4+2x^3+x^2+5x+1\\ & =(x^2+1)Q(x)+(ax+b)\cdots (\ast )\end{array}$$と表せる。

ここで、方程式 $x^2+1=0$ の解は $x=\pm i$ なので、これらの値を$(\ast )$に代入する。$x=i$ とすると $-1+6i$、$x=-i$ とすると $-1-6i$ となるから、$$\{\begin{array}{l}ai+b=-1+6i\\ a(-i)+b=-1-6i\end{array}$$が成り立つ。この連立方程式を解いて $a=6$、$b=-1$ を得るので、求める整式は $6x-1$ である。

整式を2次式で割った余りは1次以下の整式となるから、これを $ax+b$ と置き、商を$Q(x)$をすれば$$3x^{25}+1=(x^2-1)Q(x)+ax+b\cdots (\ast )$$と表せる。

ここで、方程式 $x^2-1=0$ の解は $x=\pm 1$ なので、これらの値を$(\ast )$に代入する。$x=1$ とすると $4$、$x=-1$ とすると $-2$ となるから、$$\{\begin{array}{l}a+b=4\\ -a+b=-2\end{array}$$が成り立つ。この連立方程式を解いて $a=3$、$b=1$ を得るので、求める整式は $3x+1$ である。

整式を2次式で割った余りは1次以下の整式となるから、これを $ax+b$ と置き、商を$Q(x)$をすれば$$x^n+x^{n-1}+1=(x^2-1)Q(x)+ax+b\cdots (\ast )$$と表せる。

ここで、方程式 $x^2-1=0$ の解は $x=\pm 1$ なので、これらの値を$(\ast )$に代入する。$x=1$ とすると$$1^n+1^{n-1}+1=3$$となり、$x=-1$ とすると$$(-1{)}^n+(-1{)}^{n-1}+1=(-1+1)(-1{)}^{n-1}=1$$となるから、$$\{\begin{array}{l}a+b=3\\ -a+b=1\end{array}$$が成り立つ。この連立方程式を解いて $a=1$、$b=2$ を得るので、求める整式は $x+2$ である。

整式を2次式で割った余りは1次以下の整式となるから、これを $ax+b$ と置き、商を$Q(x)$をすれば$$x^n+2x^{n-1}+1=(x^2-1)Q(x)+ax+b\cdots \mathrm{①}$$と表せる。

ここで、方程式 $x^2-1=0$ の解は $x=\pm 1$ なので、これらの値を$\mathrm{①}$に代入する。$x=1$ とすると$$1^n+2\cdot 1^{n-1}+1=4$$となり、$x=-1$ とすると$$(-1{)}^n+2(-1{)}^{n-1}+1\cdots \mathrm{②}$$となる。

（ア）$n$が偶数のとき、$\mathrm{②}$は$0$となるから$$\{\begin{array}{l}a+b=4\\ -a+b=0\end{array}$$が成り立つ。この連立方程式を解いて $a=b=2$ を得るので、求める整式は $2x+2$ である。

（イ）$n$が奇数のとき、$\mathrm{②}$は$2$となるから$$\{\begin{array}{l}a+b=4\\ -a+b=2\end{array}$$が成り立つ。この連立方程式を解いて $a=1$、$b=3$ を得るので、求める整式は $x+3$ である。

整式を2次式で割った余りは1次以下の整式となるから、これを $ax+b$ と置き、商を$Q(x)$をすれば$$x^5-x^2+1=(x-1{)}^{2}Q(x)+ax+b\cdots (\ast )$$と表せる。また、$(\ast )$の両辺を$x$で微分すると$$5x^4-2x=2(x-1)Q(x)+a\cdots (\ast \ast )$$を得る。

そこで $x=1$ を$(\ast )$および$(\ast \ast )$に代入すると、$$\{\begin{array}{l}a+b=1\\ a=3\end{array}$$となる。この連立方程式を解いて $a=3$、$b=-2$ を得るので、求める整式は $3x-2$ である。

まず$$x^2-2x+1=(x-1{)}^2$$であることに注意する。二項定理より、$$\begin{array}{rl}(x+1{)}^n& =\{(x-1)+2{\}}^n\\ & ={}_n{\mathrm{C}}_0(x-1{)}^n+{}_n{\mathrm{C}}_1(x-1{)}^{n-1}\cdot 2+\cdots \\ & \cdots +{}_n{\mathrm{C}}_{n-2}(x-1{)}^2\cdot 2^{n-2}\\ & +{}_n{\mathrm{C}}_{n-1}(x-1)\cdot 2^{n-1}+{}_n{\mathrm{C}}_n{2}^n\end{array}$$となる。この紫色部分はすべて$(x-1{)}^2$を因数に含むから、整式 $(x+1{)}^n$ を $x^2-2x+1$ で割った余りは$${}_n{\mathrm{C}}_{n-1}(x-1)\cdot 2^{n-1}+{}_n{\mathrm{C}}_n{2}^n$$すなわち$$n\cdot 2^{n-1}x-(n-2)2^{n-1}$$と求められる。