【順像法と逆像法④】線分の掃過領域（日本医科大学2016年）

順像法による解答例

 問１

（※答えのみでよい、と指示されていますが、ここでは導出過程の解説も含めて書きます）

$\mathrm{P}(t,\,t^{2})$、$\mathrm{Q}(t-5,\,t^{2}-4 t+2)$を結ぶ直線$\mathrm{PQ}$の傾きは、$$\dfrac{t^{2}-\left(t^{2}-4 t+2\right)}{t-(t-5)}=\dfrac{4 t-2}{5}$$である。これより直線$\mathrm{PQ}$の方程式は、$$y=\dfrac{4 t-2}{5}(x-t)+t^{2}$$ $$\therefore \textcolor{red}{y=\dfrac{4 t-2}{5}x+\dfrac{t^2+2t}{5}}$$となる。また、$t-5<t$ を踏まえると定義域は$$\textcolor{red}{t-5 \leqq x \leqq t}$$となる。

 問２

問１の結果より、$t$の取り得る値の範囲は$$\begin{cases}
x \leqq t \leqq x+5 \\
\quad \text{かつ} \\
1 \leqq t \leqq 3
\end{cases}$$となる。

$f(t)=\dfrac{4 t-2}{5}s+\dfrac{t^2+2t}{5}$ と置くと、$$\small \begin{aligned}
y &=f(t) \\
&=\frac{1}{5}\left\{t^{2}+2(2 x+1) t-2 x\right\} \\
&=\frac{1}{5}(t+2 x+1)^{2}-\frac{1}{5}\left(4 x^{2}+6 x+1\right)
\end{aligned}$$と変形できる。これは直線 $t=-2 x-1$ 上に軸が存在する下に凸な放物線の方程式である。

そこで、$x=s$（$s$は $-4 \leqq s \leqq 3$ を満たす定数）と固定して、$y=f(t)$ の値域を調べる。このとき、$(x,t)$の存在領域は以下のようになっている。

（ⅰ）$-4 \leqq s \leqq -2$ のとき、軸との関係から、$y$の取り得る値の範囲は$$f(s+5) \leqq y \leqq f(1)$$

（ⅱ）$-2 \leqq s \leqq -\dfrac{3}{2}$ のときは$$f(-2s-1) \leqq y \leqq f(1)$$

（ⅲ）$-\dfrac{3}{2} \leqq s \leqq -1$ のときは$$f(-2s-1) \leqq y \leqq f(3)$$

（ⅳ）$-1 \leqq s \leqq 1$ のときは$$f(1) \leqq y \leqq f(3)$$

（ⅴ）$1 \leqq s \leqq 3$ のときは$$f(s) \leqq y \leqq f(3)$$

いま、$t$にそれぞれの値を代入すると$$\begin{aligned}f(1)& =\frac{1}{5}(2s+3) \\ f(3)& =2s+3 \\ f(s)& =s^{2} \\ f(s+5)& =s^{2}+6s+7 \\ f(-2s-1)& =-\dfrac{1}{5}\left(4s^{2}+6s+1\right) \end{aligned}$$となる。よって、$x=s$ の固定を解除すると、（ⅰ）～（ⅴ）より、線分$\mathrm{PQ}$が通過する範囲 $D$ は次のようになる。ただし、境界線はすべて含む。

逆像法による解答例

 問２

問１で得られた直線$\mathrm{PQ}$の方程式は$$\small t^{2}+2(2 x+1) t-2 x-5 y=0 \quad \cdots ①$$と変形できる。したがって、線分$\mathrm{PQ}$の通過領域を求めるには、$t$の方程式$①$が$$②：x \leqq t \leqq x+5$$かつ$$③：1 \leqq t \leqq 3$$の範囲で少なくとも一つの実数解を持つような$(x,y)$が存在する条件を調べればよい。

ここで$①$の左辺について$$\small \begin{aligned}
f(t) &=t^{2}+2(2 x+1) t-2 x-5 y \\
&=\{t+(2 x+1)\}^{2}-4 x^{2}-6 x-1-5 y
\end{aligned}$$と置き、以下、$tu$平面上で $u=f(t)$ のグラフを考える。

（ア）方程式$①$が２つの実数解（重解を含む）をもつ場合

$t$が$②$を満たすとき、$$\small ④：\left\{\begin{array}{l}
(\text{軸の}u\text{座標}) \leqq 0 \\
x \leqq (\text{軸の}t\text{座標}) \leqq x+5 \\
f(x) \geqq 0 \\
f(x+5) \geqq 0
\end{array}\right.$$ $$\small \iff \left\{\begin{array}{l}
y \geqq \dfrac{1}{5}\left(-4 x^{2}-6 x-1\right) \\
-2 \leqq x \leqq -\dfrac{1}{3} \\
y \leqq x^{2} \\
y \leqq x^{2}+6 x+7
\end{array}\right.$$が必要である。また、$t$が$③$を満たすとき、$$\small ⑤：\left\{\begin{array}{l}
(\text{軸の}u\text{座標}) \leqq 0 \\
1 \leqq (\text{軸の}t\text{座標}) \leqq 3 \\
f(1) \geqq 0 \\
f(3) \geqq 0
\end{array}\right.$$ $$\small \iff \left\{\begin{array}{l}
y \geqq \dfrac{1}{5}\left(-4 x^{2}-6 x-1\right) \\
-2 \leqq x \leqq -1 \\
y \leqq \dfrac{1}{5}(2x+3) \\
y \leqq 2 x+3
\end{array}\right.$$が必要となる。

（イ）方程式$①$が１つの実数解をもつ場合

$t$が$②$を満たすとき、$$\small ⑥：\left\{\begin{array}{l}
f(x) \geqq 0 \\
f(x+5) \leqq 0
\end{array}\right. \text{ または } \left\{\begin{array}{l}
f(x) \leqq 0 \\
f(x+5) \geqq 0
\end{array}\right.$$ $$\small \iff \left\{\begin{array}{ll}
y \geqq x^{2} \\
y \leqq x^{2}+6 x+7 \end{array}\right. \text{ または }\left\{\begin{array}{l}
y \leqq x^{2} \\
y \geqq x^{2}+6 x+7
\end{array}\right.$$が必要である。また、$t$が$③$を満たすとき、$$\small ⑦：\left\{\begin{array}{l}
f(1) \geqq 0 \\
f(3) \leqq 0
\end{array}\right. \text{ または } \left\{\begin{array}{l}
f(1) \leqq 0 \\
f(3) \geqq 0
\end{array}\right.$$ $$\small \iff \left\{\begin{array}{ll}
y \geqq \dfrac{1}{5}(2x+3) \\
y \leqq 2 x+3 \end{array}\right. \text{ または }\left\{\begin{array}{l}
y \leqq \dfrac{1}{5}(2x+3) \\
y \geqq 2 x+3
\end{array}\right.$$が必要となる。

以上（ア）と（イ）より、$②$のときの必要条件は「$④$または$⑥$」であり、$③$のときの必要条件は「$⑤$または$⑦$」である。いま、$②$かつ$③$でなければならないから、求める$(x,y)$が存在する条件は

「$④$または$⑥$」かつ「$⑤$または$⑦$」

となる。（※図示した結果は省略）