二項係数を4で割った余り（2021年東京大学前期共通数学第4問）

解答例

 

（１）

$k$、$l$を整数とし、$K$、$L$を$4$で割った余りを $r$（$=1,3$）として $K=4k+r$、$L=4l+r$ と置く。

 

$KA=LB$ が成り立つとき、$$(4k+r)A=(4l+r)B$$ $$\therefore 4(kA-lB)=r(B-A)$$となるが、$r$は$4$の倍数でないので、$B-A$ が$4$の倍数であることが必要である。これより、$A$を$4$で割った余りは$B$を$4$で割った余りと等しい。

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（２）

$A$の分子･分母を書き下したときに、分子･分母に$4$の倍数が現れる項とそれ以外を分けて表すと$$\begin{array}{rl}A& ={}_{4a+1}{\mathrm{C}}_{4b+1}\\ & ={\displaystyle \frac{4a+1}{4b+1}}\cdot {\displaystyle \frac{4a}{4b}}\cdot {\displaystyle \frac{4a-1}{4b-1}}\cdots {\displaystyle \frac{4(a-b)+2}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{4(a-b)+1}{1}}\\ & ={\displaystyle \frac{4a}{4b}}\cdot {\displaystyle \frac{4(a-1)}{4(b-1)}}\cdot {\displaystyle \frac{4(a-2)}{4(b-2)}}\cdots {\displaystyle \frac{4(a-b+1)}{4}}\\ & \cdot {\displaystyle \frac{4a+1}{4b+1}}\cdot {\displaystyle \frac{4a-1}{4b-1}}\cdot {\displaystyle \frac{2a-1}{2b-1}}\cdot {\displaystyle \frac{4a-3}{4b-3}}\cdot {\displaystyle \frac{4a-5}{4b-5}}\cdot {\displaystyle \frac{2a-3}{2b-3}}\\ & \cdots {\displaystyle \frac{2(a-b)+1}{1}}\cdot {\displaystyle \frac{4(a-b)+1}{1}}\end{array}$$となる。

 

ここで$$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{4a}{4b}}\cdot {\displaystyle \frac{4(a-1)}{4(b-1)}}\cdot {\displaystyle \frac{4(a-2)}{4(b-2)}}\cdots {\displaystyle \frac{4(a-b+1)}{4}}\\ & ={\displaystyle \frac{a}{b}}\cdot {\displaystyle \frac{a-1}{b-1}}\cdot {\displaystyle \frac{a-2}{b-2}}\cdots {\displaystyle \frac{a-b+1}{1}}\\ & ={}_a{\mathrm{C}}_b(=B)\end{array}$$である。また、$$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{4a+1}{4b+1}}\cdot {\displaystyle \frac{4a-1}{4b-1}}\cdot {\displaystyle \frac{2a-1}{2b-1}}\cdot {\displaystyle \frac{4a-3}{4b-3}}\cdot {\displaystyle \frac{4a-5}{4b-5}}\cdot {\displaystyle \frac{2a-3}{2b-3}}\\ & \cdots {\displaystyle \frac{2(a-b)+1}{1}}\cdot {\displaystyle \frac{4(a-b)+1}{1}}\\ & ={\displaystyle \frac{(4a+1)(4a-1)(2a-1)\cdots \{4(a-b)+1\}}{(4b+1)(4b-1)(2b-1)\cdots 1}}\end{array}$$について分母を$K$、分子を$L$と置くと、$K$、$L$はともに奇数であり、$${}_{4a+1}{\mathrm{C}}_{4b+1}={}_a{\mathrm{C}}_b\cdot {\displaystyle \frac{L}{K}}$$となるから、$A={}_{4a+1}{\mathrm{C}}_{4b+1}$、$B={}_a{\mathrm{C}}_b$に対して $KA=LB$ となるような正の奇数$K$、$L$が存在することが示される。

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（３）

まず、$$\begin{array}{rl}L=& (4a+1)(4a-1)(2a-1)\\ & \times (4a-3)(4a-5)(2a-3)\\ & \dots \dots \\ & \times (4a-4b+5)(4a-4b+3)(2a-2b+1)\\ & \times (4a-4b+1)\\ \\ K=& (4b+1)(4b-1)(2b-1)\\ & \times (4b-3)(4b-5)(2b-3)\\ & ⋮\\ & \times 5\times 3\times 1\\ & \times 1\end{array}$$と表せることに注意する。

 

任意の整数$r$について $4a+r$ を$4$で割った余りと $4b+r$ を$4$で割った余りは等しい。

 

また、正の整数$a$、$b$について $a-b$ が$2$で割り切れるとき、$$(2a+r)-(2b+r)=2(a-b)$$は$4$の倍数となるから、$2a+r$ を$4$で割った余りと $2b+r$ を$4$で割った余りは等しい。

 

以上のことから、$K$、$L$の各項を比較することにより、$K$を$4$で割った余りと$L$を$4$で割った余りは等しいことが分かる。

 

これと、（２）より$$K\cdot {}_{4a+1}{\mathrm{C}}_{4b+1}=L\cdot {}_a{\mathrm{C}}_b$$が成り立つこと、および$K$、$L$がともに正の奇数であることから（１）の結果を用いて、${}_{4a+1}{\mathrm{C}}_{4b+1}$を$4$で割った余りは${}_a{\mathrm{C}}_b$を$4$で割った余りに等しいことが示される。

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（４）

（３）の結果を利用して、$$\begin{array}{rl}{}_{2021}{\mathrm{C}}_{37}& \equiv {}_{505}{\mathrm{C}}_9(\mathrm{mod}4)\\ & \equiv {}_{126}{\mathrm{C}}_2(\mathrm{mod}4)\\ & =63\cdot 125\\ & \equiv 3\cdot 1(\mathrm{mod}4)\\ & =3\end{array}$$となるから、${}_{2021}{\mathrm{C}}_{37}$を$4$で割った余りは$$3$$である。