最近の創作整数問題は分野が入り乱れてきています・・・(笑)
今回は指数の冪を含むディオファントス方程式がテーマです。
《問題#17》
等式
(創作問題)
因数分解に持ち込めるように式変形できないか、考えてみましょう。
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創作整数問題#16(解き方)
本問のように、漸化式で与えられる数列の剰余(特に今回のように合成数
また、「漸化式で与えられる数列の剰余は周期性を持つ」ことにも注意しましょう。今回の漸化式は3項間漸化式なので、連続する2項に同じ数列が現れた時点で周期が確定します(具体的に言うと、
早速
となるので、
となるので、
(★)
となります。同様に
となるので、
(☆)
となります。2つの条件(★)と(☆)により、
となります。
合成数(今回は
フィボナッチ数列に関する入試問題はこれまでに様々な大学で出題されています。今回解説した問題#16は数あるフィボナッチ数列の問題の中でも割と簡単な部類の問題だったと思います。当ホームページの「雑題ログ」に実際の入試で出題された過去問を色々とまとめているので、是非ご覧になって下さい!