線形代数3.3.6

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 問題3.3.6

$A$、$B$ が$n$次正方行列のとき、$\left|\begin{array}{ll}A& B\\ B& A\end{array}\right|=|A+B||A-B|$ を示せ。

 

 ポイント

$A$、$B$ がともに$n$次正方行列であることを利用し、上手く成分計算して示します。

 

 解答例

第 $1$ 行$-$第 $n+1$ 行、$\cdots$、第 $n$ 行$-$第 $2n$ 行と計算することにより$$\left|\begin{array}{cc}A& B\\ B& A\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}A-B& B-A\\ B& A\end{array}\right|$$となる。また、第 $n+1$ 列$+$第 $1$ 列、$\cdots$、第 $2n$ 列$+$第 $n$ 列と計算することにより、$$\left|\begin{array}{cc}A-B& B-A\\ B& A\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}A-B& O\\ B& A+B\end{array}\right|$$となる。ここで$$\left|\begin{array}{cc}A-B& O\\ B& A+B\end{array}\right|=|A-B||A+B|$$であるから$$\left|\begin{array}{cc}A& B\\ B& A\end{array}\right|=|A-B||A+B|$$が成立する。

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