複数の数列を独立な成分に分け、周期係数は1周期ずつ進めて処理します。
1．対称な連立式は和と差を取る
$$a_{n+1}=pa_n+qb_n,\qquad b_{n+1}=qa_n+pb_n$$ なら、$s_n=a_n+b_n,\ d_n=a_n-b_n$ によって $$s_{n+1}=(p+q)s_n,\qquad d_{n+1}=(p-q)d_n$$ と独立な等比数列になります。最後に $a_n=(s_n+d_n)/2,\ b_n=(s_n-d_n)/2$ で戻します。
例題1：和だけが増幅する
$a_1=1,b_1=0,\ a_{n+1}=2a_n+b_n,\ b_{n+1}=a_n+2b_n$。和は公比3、差は公比1です。$s_1=d_1=1$ なので、$$a_n=\frac{3^{n-1}+1}2,\qquad b_n=\frac{3^{n-1}-1}2.$$ 差が常に1であることは、計算結果の検算にも使えます。
2．対称でなければ消去する
$$a_{n+1}=Aa_n+Bb_n,\qquad b_{n+1}=Ca_n+Db_n$$ から、直接代入して $$a_{n+2}=(A+D)a_{n+1}-(AD-BC)a_n$$ が得られます。$B\ne0$ なら、解いた $a_n$ から $b_n=(a_{n+1}-Aa_n)/B$ と復元できます。$B=0$ ならこの割り算をせず、先に $a_n$ を解き、$b_n$ の非同次漸化式へ代入します。
行列を習った読者には、$A+D$ が跡、$AD-BC$ が行列式に対応します。高校の答案では、この用語を使わなくても上の代入計算で十分に説明できます。
3．周期係数は一周分を合成する
例題2：奇数番と偶数番で規則が変わる
$a_1=0$ とし、$n$ が奇数なら $a_{n+1}=2a_n+1$、偶数なら $a_{n+1}=3a_n+1$ とします。$u_k=a_{2k-1}$ と置けば、$$u_{k+1}=3(2u_k+1)+1=6u_k+4,\qquad u_1=0.$$ 固定点は $-4/5$ だから、$$a_{2k-1}=\frac45(6^{k-1}-1),\qquad a_{2k}=\frac85\,6^{k-1}-\frac35.$$ 最初の4項0,1,4,9を確認します。合成の順序を逆にすると定数項が変わるので、どの項から一周させるかを明記します。
4．成分を分けた後、元の問題へ戻す
和だけが分かっても2つの数列は決まりません。また、奇数項だけを求めて一般項と呼ぶのも不十分です。復元式、両方の初期条件、元の2本の式を確認します。2周期の係数が現れても数列自体が2周期になるとは限りません。例題2は急速に増加する反例です。
作問者の視点――条件と解法の関係
確認演習と解答
まず方針と必要な条件を言葉にしてから計算してください。解答は開いて確認できます。
演習1 $a_1=2,b_1=0,\ a_{n+1}=3a_n+b_n,\ b_{n+1}=a_n+3b_n$。
解答・考え方を開く
和は $2\cdot4^{n-1}$、差は $2\cdot2^{n-1}$。$a_n=4^{n-1}+2^{n-1},b_n=4^{n-1}-2^{n-1}$。
演習2 $a_1=t$、奇数 $n$ で $a_{n+1}=2a_n$、偶数 $n$ で $a_{n+1}=a_n/2$。
解答・考え方を開く
$a_{2k-1}=t,a_{2k}=2t$。$t=0$ なら定数列、それ以外は2周期。
演習3 例題2の偶数項 $v_k=a_{2k}$ の漸化式を作れ。
解答・考え方を開く
$v_{k+1}=2(3v_k+1)+1=6v_k+3$、$v_1=1$。奇数項の定数4と違うことを確認します。
関連する解説
参考資料
定理・基本的な方法の確認に使える公開教材です。本ページの例題・演習・作問上のコメントは、解説用に独自に構成しています。