【数Ⅲ】1/sin x の微分と5通りの不定積分の導出法

本稿では関数 1/sin x の導関数と不定積分の様々な導出法を紹介します。1/sin^2 x についても触れます。

 

※ ${\displaystyle \frac{1}{\cos x}}$ の導関数と不定積分の導出法についてはこちら。

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 ${\displaystyle \frac{1}{\sin x}}$の導関数の導出

微分すれば良いだけなので、導関数の導出は簡単です。中身の微分を忘れずに。

$$\begin{array}{rl}& \frac{d}{dx}\left[{\displaystyle \frac{1}{\sin x}}\right]\\ & =-\frac{{(\sin x)}^{\prime }}{{\sin }^{2}x}\\ & =-{\displaystyle \frac{\cos x}{{\sin }^{2}x}}\end{array}$$

 

 ${\displaystyle \frac{1}{\sin x}}$の不定積分の導出

数学Ⅲでよく取り上げられる計算ですが、複数の導き方が知られており実は奥深いのです。

 

① 部分分数分解を利用

$$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \int \frac{dx}{\sin x}}\\ & =\int \frac{\sin x}{{\sin }^{2}x}dx\\ & =\int \frac{\sin x}{1-{\cos }^{2}x}dx\\ & =\int \frac{\sin x}{(1-\cos x)(1+\cos x)}dx\\ & =\frac{1}{2}\int (\frac{\sin x}{1-\cos x}+\frac{\sin x}{1+\cos x})dx\\ & =\frac{1}{2}\int (\frac{(1-\cos x{)}^{\prime }}{1-\cos x}-\frac{(1+\cos x{)}^{\prime }}{1+\cos x})dx\\ & =\frac{1}{2}(\log |1-\cos x|-\log |1+\cos x|)+C\\ & =\frac{1}{2}\log \left|\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\right|+C\end{array}$$絶対値は外しても外さなくてもOKです。これが最もオーソドックスな方法でしょうか。

 

② 2倍角の公式を利用

$$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \int {\displaystyle \frac{dx}{\sin x}}}\\ & =\int {\displaystyle \frac{dx}{2\sin {\displaystyle \frac{x}{2}}\cos {\displaystyle \frac{x}{2}}}}\\ & =\int {\displaystyle \frac{dx}{2{\cos }^2{\displaystyle \frac{x}{2}}\tan {\displaystyle \frac{x}{2}}}}\end{array}$$一般に ${(\tan {\displaystyle \frac{x}{2}})}^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{2{\cos }^2{\displaystyle \frac{x}{2}}}}$ が成り立つので$$\begin{array}{rl}& \int {\displaystyle \frac{dx}{2{\cos }^2{\displaystyle \frac{x}{2}}\tan {\displaystyle \frac{x}{2}}}}\\ & =\int {\displaystyle \frac{{(\tan {\displaystyle \frac{x}{2}})}^{\prime }}{\tan {\displaystyle \frac{x}{2}}}}dx\\ & =\log |\tan {\displaystyle \frac{x}{2}}|+C\end{array}$$①の結果と形が異なりますが、同じ値を表しています。これは知らないと難しいかもしれません。

 

③ $\csc x+\cot x$ を利用

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{dx}{\sin x}}}& =\int \frac{1}{\sin x}\left({\displaystyle \frac{\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\tan x}}{\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\tan x}}}\right)dx\\ & =\int {\displaystyle \frac{\frac{1}{{\sin }^{2}x}+\frac{1}{\sin x\tan x}}{\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\tan x}}}dx\\ & =-\int \frac{{(\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\tan x})}^{\prime }}{\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\tan x}}dx\\ & =-\log |\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\tan x}|+C\end{array}$$これは知らないとまず思い付かない式変形だと思います。観賞用の証明法だと思って結構です。

またまた形の異なる結果が得られましたが、これまでと同じ値を表しています。確かめてみて下さい。

 

④ $x=2u$ と置換する

$$ $$x=2u$$と置くと、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{\sin x}}dx}& =\int {\displaystyle \frac{1}{\sin 2u}}(2du)\\ & =\int {\displaystyle \frac{\cancel{2}}{\cancel{2}\sin u\cos u}}du\\ & =\int {\displaystyle \frac{1}{\sin u\cos u}}du\\ & =\int {\displaystyle \frac{{\sin }^{2}u+{\cos }^{2}u}{\sin u\cos u}}du\\ & =\int ({\displaystyle \frac{\sin u}{\cos u}}+{\displaystyle \frac{\cos u}{\sin u}})du\\ & =\int ({\displaystyle \frac{-(\cos u{)}^{\prime }}{\cos u}}+{\displaystyle \frac{(\sin u{)}^{\prime }}{\sin u}})du\\ & =-\log |\cos u|+\log |\sin u|+C\\ & =\log \left|{\displaystyle \frac{\sin u}{\cos u}}\right|+C\\ & =\log |\tan u|+C\\ & =\log |\tan {\displaystyle \frac{x}{2}}|+C\end{array}$$を得ます。${\sin }^{2}u+{\cos }^{2}u=1$ の関係式を上手く用いています。上記では$x=2u$ と置換することで式をシンプルにして見やすくしていますが、この方法は置き換えをせずとも計算可能です。案外分かりやすい証明法かもしれません。

 

⑤ $t=\tan {\displaystyle \frac{x}{2}}$ と置換する

いわゆる「ワイエルシュトラス置換」(Weierstrass substitution) または「半角正接置換」(tangent half-angle substitution) と呼ばれる置換積分による方法も有名です。

$t=\tan {\displaystyle \frac{x}{2}}$ と置換すると、$$\{\begin{array}{l}\sin {\displaystyle \frac{x}{2}}={\displaystyle \frac{t}{\sqrt{1+t^2}}}\\ \cos {\displaystyle \frac{x}{2}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+t^2}}}\end{array}$$と表せるので、$$\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$$と表せます。また、$$dx={\displaystyle \frac{2}{1+t^2}}dt$$となるので、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \int {\displaystyle \frac{dx}{\sin x}}}& =\int \frac{1+t^2}{2t}\cdot {\displaystyle \frac{2}{1+t^2}}dt\\ & =\int {\displaystyle \frac{1}{t}}dt\\ & =\log \left|t\right|+C\\ & =\log |\tan {\displaystyle \frac{x}{2}}|+C\end{array}$$を得ます。参考書などによく載っているタイプの証明法ですね。$t=\tan {\displaystyle \frac{x}{2}}$ と置けば大抵の被積分関数は有理関数化できるので、積分計算をゴリ押しできます。

 

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