【数Ⅲ】1/sin x の微分と5通りの不定積分の導出法

本稿では関数 1/sin x の導関数と不定積分の様々な導出法を紹介します。1/sin^2 x についても触れます。

 

※ $\dfrac{1}{\cos x}$ の導関数と不定積分の導出法についてはこちら。

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 $\dfrac{1}{\sin x}$の導関数の導出

微分すれば良いだけなので、導関数の導出は簡単です。中身の微分を忘れずに。

$$\small \begin{aligned}
& \quad \frac{d}{dx}\left[\dfrac{1}{\sin x}\right] \\
&=-\frac{\left(\sin x\right)^{\prime}}{\sin^2 x} \\
&=\color{red}{-\dfrac{\cos x}{\sin^2 x}}
\end{aligned}$$

 

 $\dfrac{1}{\sin x}$の不定積分の導出

数学Ⅲでよく取り上げられる計算ですが、複数の導き方が知られており実は奥深いのです。

 

① 部分分数分解を利用

$$\small \begin{aligned}
& \quad \displaystyle \int \frac{d x}{\sin x} \\
&=\int \frac{\sin x}{\sin ^{2} x} d x \\
&=\int \frac{\sin x}{1-\cos ^{2} x} d x \\
&=\int \frac{\sin x}{(1-\cos x)(1+\cos x)} d x \\
&=\frac{1}{2}\int \left(\frac{\sin x}{1-\cos x}+\frac{\sin x}{1+\cos x}\right) d x \\
&=\frac{1}{2}\int \left(\frac{(1-\cos x)^{\prime}}{1-\cos x}-\frac{(1+\cos x)^{\prime}}{1+\cos x}\right) d x \\
&=\frac{1}{2}\left(\log|1-\cos x|-\log|1+\cos x|\right)+C \\
&=\color{red}{\frac{1}{2}\log\left|\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\right|+C} \\
\end{aligned}$$絶対値は外しても外さなくてもOKです。これが最もオーソドックスな方法でしょうか。

 

② 2倍角の公式を利用

$$\small \begin{aligned}
& \quad \displaystyle \int \dfrac{d x}{\sin x} \\
&=\int \dfrac{d x}{2 \sin \dfrac{x}{2} \cos \dfrac{x}{2}} \\
&=\int \dfrac{d x}{2 \cos ^{2} \dfrac{x}{2} \tan \dfrac{x}{2}}
\end{aligned}$$一般に $\small \left(\tan \dfrac{x}{2}\right)^{\prime}=\dfrac{1}{2\cos^2\dfrac{x}{2}}$ が成り立つので$$\small \begin{aligned}
& \quad \int \dfrac{d x}{2 \cos ^{2} \dfrac{x}{2} \tan \dfrac{x}{2}} \\
&=\int \dfrac{\left(\tan \dfrac{x}{2}\right)^{\prime}}{\tan \dfrac{x}{2}} d x \\
&=\color{red}{\log \left|\tan \dfrac{x}{2}\right|+C}
\end{aligned}$$①の結果と形が異なりますが、同じ値を表しています。これは知らないと難しいかもしれません。

 

③ $\csc x+\cot x$ を利用

$$\small \begin{aligned}
\displaystyle \int \dfrac{d x}{\sin x} &= \int \frac{1}{\sin x}\left(\dfrac{\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\tan x}}{\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\tan x}}\right)\,dx \\
&=\int \dfrac{\frac{1}{\sin^2 x}+\frac{1}{\sin x \tan x}}{\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\tan x}}\,dx \\
&=-\int \frac{\left(\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\tan x}\right)^{\prime}}{\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\tan x}}\,dx \\
&=\color{red}{-\log\left|\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\tan x}\right|+C}
\end{aligned}$$これは知らないとまず思い付かない式変形だと思います。観賞用の証明法だと思って結構です。

またまた形の異なる結果が得られましたが、これまでと同じ値を表しています。確かめてみて下さい。

 

④ $x=2u$ と置換する

$\require{cancel}$ $$x=2u$$と置くと、$$\small \begin{aligned}
\displaystyle \int \dfrac{1}{\sin x}\,dx &= \int \dfrac{1}{\sin 2u}(2\,du) \\
&=\int \dfrac{\cancel{2}}{\cancel{2}\sin u \,\cos u}\,du \\
&=\int \dfrac{1}{\sin u \,\cos u}\,du \\
&=\int \dfrac{\sin^2 u+\cos^2 u}{\sin u \,\cos u}\,du \\
&=\int \left(\dfrac{\sin u}{\cos u}+\dfrac{\cos u}{\sin u}\right)du \\
&=\int \left(\dfrac{-(\cos u)^{\prime}}{\cos u}+\dfrac{(\sin u)^{\prime}}{\sin u}\right)du \\
&=-\log\left|\cos u\right|+\log\left|\sin u\right|+C \\
&=\log\left|\dfrac{\sin u}{\cos u}\right|+C \\
&=\log\left|\tan u\right|+C \\
&=\color{red}{\log \left| \tan \dfrac{x}{2} \right|+ C}
\end{aligned}$$を得ます。$\small \sin^2 u+\cos^2 u=1$ の関係式を上手く用いています。上記では$x=2u$ と置換することで式をシンプルにして見やすくしていますが、この方法は置き換えをせずとも計算可能です。案外分かりやすい証明法かもしれません。

 

⑤ $t=\tan \dfrac{x}{2}$ と置換する

いわゆる「ワイエルシュトラス置換」(Weierstrass substitution) または「半角正接置換」(tangent half-angle substitution) と呼ばれる置換積分による方法も有名です。

$t=\tan \dfrac{x}{2}$ と置換すると、$$\small \begin{cases}
\sin {\dfrac {x}{2}}={\dfrac {t}{\sqrt {1+t^{2}}}} \\
\cos {\dfrac {x}{2}}={\dfrac {1}{\sqrt {1+t^{2}}}} \\
\end{cases}$$と表せるので、$$\small \sin x=\frac {2t}{1+t^{2}},\ \cos x=\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}$$と表せます。また、$$\small d x=\dfrac{2}{1+t^{2}} d t$$となるので、$$\small \begin{aligned}
\displaystyle \int \dfrac{d x}{\sin x} &= \int\frac{1+t^{2}}{2t}\cdot\dfrac{2}{1+t^{2}}\, d t \\
&=\int \dfrac{1}{t}\,dt \\
&=\log\left|t\right|+C \\
&=\color{red}{\log \left| \tan \dfrac{x}{2} \right|+ C}
\end{aligned}$$を得ます。参考書などによく載っているタイプの証明法ですね。$t=\tan \dfrac{x}{2}$ と置けば大抵の被積分関数は有理関数化できるので、積分計算をゴリ押しできます。

 

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