ド忘れされることの多いタンジェントに関する微分・積分計算のまとめです。tanの逆数や逆関数など、その周辺の関数の微積分計算についてもまとめました。
本稿では、以下の計算についてまとめています（番号をクリックするとジャンプできます）。
① $\dfrac{d}{dx}\tan x$（$\tan x$ の微分）
② $\displaystyle \int \tan x\, dx$（$\tan x$ の積分）
③ $\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{\tan x}\right)$（$\tan x$ の逆数の微分）
④ $\displaystyle \int \dfrac{dx}{\tan x}$（$\tan x$ の逆数の積分）
⑤ $\dfrac{d}{dx}\tan^{-1} x$（$\tan x$ の逆関数の微分）
⑥ $\displaystyle \int \tan^{-1} x\, dx$（$\tan x$ の逆関数の積分）
⑦ $\displaystyle \int \tan^{2} x\, dx$（意外と差が付く積分）
⑧ $\displaystyle \int \tan^{n} x\, dx$（$n \geqq 3$）
⑨ $\dfrac{d}{dx}\tan^n x$（$n \geqq 1$；①の一般化）
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【① $\dfrac{d}{dx}\tan x$（$\tan x$ の微分）】
$\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ の関係式を使います。商の微分公式から示すことができます。
$$\begin{align}&\ \ \ \ \ (\tan x)^{\prime}\\
&=\left(\dfrac{\sin x}{\cos x}\right)^{\prime}\\
&=\dfrac{(\sin x)^{\prime}\cos x-(\cos x)^{\prime}\sin x}{\cos^2 x}\\
&=\dfrac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2 x}\\
&=\color{red}{\dfrac{1}{\cos^2x}}\end{align}$$
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【② $\displaystyle \int \tan x\, dx$（$\tan x$ の積分）】
積分についても $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ の関係式を使います。対数関数の微分形になっていることを利用します。
$$\begin{align}&\ \ \ \ \ \displaystyle\int \tan xdx\\
&=\displaystyle\int \dfrac{\sin x}{\cos x}dx\\
&=\displaystyle\int -\dfrac{(\cos x)^{\prime}}{\cos x}dx\\
&=\color{red}{-\log|\cos x|+C}\end{align}$$
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【③ $\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{\tan x}\right)$（$\tan x$ の逆数の微分）】
$\dfrac{1}{\tan x}=\dfrac{\cos x}{\sin x}$ となっているだけなので簡単に微分できますね。
$$\begin{align}&\ \ \ \ \ \left(\dfrac{1}{\tan x}\right)^{\prime}\\
&=\left(\dfrac{\cos x}{\sin x}\right)^{\prime}\\
&=\dfrac{(\cos x)^{\prime}\sin x-(\sin x)^{\prime}\cos x}{\sin^2 x}\\
&=\dfrac{-\sin^2x-\cos^2x}{\sin^2 x}\\
&=-\dfrac{(\sin^2x+\cos^2x)}{\sin^2 x}\\
&=\color{red}{-\dfrac{1}{\sin^2x}}\end{align}$$
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【④ $\displaystyle \int \dfrac{dx}{\tan x}$（$\tan x$ の逆数の積分）】
積分についても $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ の関係式を使います。対数関数の微分形になっていることを利用します。
$$\begin{align}&\ \ \ \ \ \displaystyle\int \dfrac{dx}{\tan x}\\
&=\displaystyle\int \dfrac{\cos x}{\sin x}dx\\
&=\displaystyle\int \dfrac{(\sin x)^{\prime}}{\sin x}dx\\
&=\color{red}{\log|\sin x|+C}\end{align}$$
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【⑤ $\dfrac{d}{dx}\tan^{-1} x$（$\tan x$ の逆関数の微分）】
今、$y =\tan^{-1} x$ と置くと、$$x =\tan y$$が成り立ちます。したがって、$\tan$の微分（公式①）より、$$\begin{align}\dfrac{d x}{d y} &=\dfrac{1}{\cos^{2} y} \\ &= 1+\tan^{2} y \\ &= 1+x^{2} \quad (\because x =\tan y) \end{align}$$となるので、両辺の逆数をとって$$\color{red}{\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{1+x^{2}}}$$を得ます。
※式変形の途中で関係式$$1+\tan^{2} x=\dfrac{1}{\cos^{2}x}$$を使いました。これは関係式 $\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$ の両辺を$\cos^{2}x$で割ることで得られます。
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【⑥ $\displaystyle \int \tan^{-1} x\, dx$（$\tan x$ の逆関数の積分）】
$\tan x$ の逆関数の微分（公式⑤）を利用します。部分積分法によって有理関数を作って処理します。
$$\begin{align}
&\ \ \ \ \ \int \tan ^{-1} x d x \\
&=x \tan ^{-1} x-\int \frac{x}{1+x^{2}} d x \\
&=x \tan ^{-1} x-\frac{1}{2} \int \frac{2 x}{1+x^{2}} d x \\
&=x \tan ^{-1} x-\frac{1}{2} \log \left|1+x^{2}\right|+C \\
&=\color{red}{x \tan ^{-1} x-\frac{1}{2} \log \left(1+x^{2}\right)+C}
\end{align}$$
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【⑦ $\displaystyle \int \tan^{2} x\, dx$（おまけ）】
部分積分は使いません。
$$\begin{align}
&\ \ \ \ \ \displaystyle\int \tan^2x\,dx\\
&=\displaystyle\int \left(\dfrac{1}{\cos^2x}-1\right)dx\\
&=\color{red}{\tan x-x+C}
\end{align}$$
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【⑧ $\displaystyle \int \tan^{n} x\, dx$（$n \geqq 3$）】
$n=3,4,5$ の場合について答えだけ示します。
$$\small \begin{align} \displaystyle\int \tan^3 x\,dx &=\color{red}{\frac{1}{2 \cos ^{2}x}+\log |\cos x|+C} \\ &=\color{red}{\frac{1}{2}\tan^{2}x+\log |\cos x|+C’} \end{align}$$
$$\small \begin{align} \displaystyle\int \tan^4 x\,dx &=\color{red}{x-\tan x + \frac{1}{3}\tan^3 x+C} \end{align}$$
$$\small \begin{align} \displaystyle\int \tan^5 x\,dx &=\color{red}{\frac{1}{4 \cos ^{4}x}-\frac{1}{\cos ^{2}x} -\log |\cos x|+C} \\ &=\color{red}{\frac{1}{4}\tan^{4}x-\frac{1}{2}\tan^{2}x-\log |\cos x|+C’} \end{align}$$
因みに、奇数次のときは$$\small \begin{align}&\ \ \ \ \ \displaystyle\int \tan^{2k+1}x\,dx \\ &=\displaystyle\sum_{j=1}^{k}(-1)^{k-j}\dfrac{\tan^{2j}x}{2j}+(-1)^{k+1}\log|\cos x|+C \end{align}$$となり、偶数次のときは$$\small \begin{align}&\ \ \ \ \ \displaystyle\int \tan^{2k}x\,dx \\ &=\displaystyle\sum_{j=1}^k(-1)^{k-j}\dfrac{\tan^{2j-1}x}{2j-1}+(-1)^kx+C \end{align}$$となります。これらの結果は積分漸化式を使って示されます。
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【⑨ $\dfrac{d}{dx}\tan^n x$（$n \geqq 2$）】
$\tan^n x$ は要するに$(\tan x)^n$のことなので、$\tan x$と$x^n$の合成関数と見なせます。これより、微分した結果は中身の微分と外側の微分の積になるので$$\begin{aligned} \dfrac{d}{dx}\tan^n x &= \dfrac{d}{dx}(\tan x)^n \\ &= (\tan x)^{\prime} \cdot n (\tan x)^{n-1} \\ &=\dfrac{n\tan^{n-1} x}{\cos^2 x} \end{aligned}$$と計算できます。
$\tan x$ の微積計算は数Ⅲの微積単元の中でも苦手意識のある人が多いので、しっかり克服したいですね。積分の計算では答えを微分して検算するのを忘れずに！
余談ですが、$\sqrt{\tan x}$ の微分は簡単な割に、積分はかなり難しいです。大学の範囲ですが、置換積分を駆使すると以下の答えが得られるはずです。$\sqrt{\tan x}$ の不定積分は $t=\tan x$ として$$\small \begin{aligned}
& \dfrac{1}{2 \sqrt{2}}\left(-2 \tan ^{-1}(1-\sqrt{2t})+2 \tan ^{-1}(\sqrt{2t}+1)\right. \\
& \quad \left.+\log (t-\sqrt{2t}+1)-\log (t+\sqrt{2t}+1)\right)+C
\end{aligned}$$と表されます。
tanx^3、tan^4、tan^nの微分を教えてください。
たぬき さん
コメントありがとうございます。
$\tan^n x$の微分について追記したので参考にして下さい！
ご回答ありがとうございました。
はじめまして。
√(tan x) の積分ですが、YouTubeに解説動画が出ていますね。
『予備校のノリで学ぶ「大学の数学・物理」』チャンネル、通称ヨビノリさんが数年前に出した「今週の積分」シリーズの最終回に、定積分ではありますが
\int_0^{\pi/4} \sqrt{\tan x} \mathrm{d}x
の解説動画があります。Googleに「今週の積分 第100回」と入れるだけでトップに出てきます。
取り急ぎ、情報提供のみにて。