【数Ⅲ】タンジェント（tan x）関連の微分積分まとめ

ド忘れされることの多いタンジェントに関する微分・積分計算のまとめです。tanの逆数や逆関数など、その周辺の関数の微積分計算についてもまとめました。

 

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本稿では、以下の計算についてまとめています（番号をクリックするとジャンプできます）。

①　${\displaystyle \frac{d}{dx}}\tan x$（$\tan x$ の微分）

②　${\displaystyle \int \tan xdx}$（$\tan x$ の積分）

③　${\displaystyle \frac{d}{dx}}\left({\displaystyle \frac{1}{\tan x}}\right)$（$\tan x$ の逆数の微分）

④　${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{dx}{\tan x}}}$（$\tan x$ の逆数の積分）

⑤　${\displaystyle \frac{d}{dx}}{\tan }^{-1}x$（$\tan x$ の逆関数の微分）

⑥　${\displaystyle \int {\tan }^{-1}xdx}$（$\tan x$ の逆関数の積分）

⑦　${\displaystyle \int {\tan }^{2}xdx}$（意外と差が付く積分）

⑧　${\displaystyle \int {\tan }^{n}xdx}$（$n\geqq 3$）

⑨　${\displaystyle \frac{d}{dx}}{\tan }^{n}x$（$n\geqq 1$；①の一般化）

 

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【①　${\displaystyle \frac{d}{dx}}\tan x$（$\tan x$ の微分）】

$\tan x={\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}}$ の関係式を使います。商の微分公式から示すことができます。

$$\begin{array}{rl}& (\tan x{)}^{\prime }\\ & ={\left({\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}}\right)}^{\prime }\\ & ={\displaystyle \frac{(\sin x{)}^{\prime }\cos x-(\cos x{)}^{\prime }\sin x}{{\cos }^{2}x}}\\ & ={\displaystyle \frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}}\end{array}$$

 

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【②　${\displaystyle \int \tan xdx}$（$\tan x$ の積分）】

積分についても $\tan x={\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}}$ の関係式を使います。対数関数の微分形になっていることを利用します。

$$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \int \tan xdx}\\ & ={\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}}dx}\\ & ={\displaystyle \int -{\displaystyle \frac{(\cos x{)}^{\prime }}{\cos x}}dx}\\ & =-\log |\cos x|+C\end{array}$$

 

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【③　${\displaystyle \frac{d}{dx}}\left({\displaystyle \frac{1}{\tan x}}\right)$（$\tan x$ の逆数の微分）】

${\displaystyle \frac{1}{\tan x}}={\displaystyle \frac{\cos x}{\sin x}}$ となっているだけなので簡単に微分できますね。

$$\begin{array}{rl}& {\left({\displaystyle \frac{1}{\tan x}}\right)}^{\prime }\\ & ={\left({\displaystyle \frac{\cos x}{\sin x}}\right)}^{\prime }\\ & ={\displaystyle \frac{(\cos x{)}^{\prime }\sin x-(\sin x{)}^{\prime }\cos x}{{\sin }^{2}x}}\\ & ={\displaystyle \frac{-{\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}}\\ & =-{\displaystyle \frac{({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)}{{\sin }^{2}x}}\\ & =-{\displaystyle \frac{1}{{\sin }^{2}x}}\end{array}$$

 

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【④　${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{dx}{\tan x}}}$（$\tan x$ の逆数の積分）】

積分についても $\tan x={\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}}$ の関係式を使います。対数関数の微分形になっていることを利用します。

$$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \int {\displaystyle \frac{dx}{\tan x}}}\\ & ={\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\cos x}{\sin x}}dx}\\ & ={\displaystyle \int {\displaystyle \frac{(\sin x{)}^{\prime }}{\sin x}}dx}\\ & =\log |\sin x|+C\end{array}$$

 

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【⑤　${\displaystyle \frac{d}{dx}}{\tan }^{-1}x$（$\tan x$ の逆関数の微分）】

今、$y={\tan }^{-1}x$ と置くと、$$x=\tan y$$が成り立ちます。したがって、$\tan$の微分（公式①）より、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{dx}{dy}}& ={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}y}}\\ & =1+{\tan }^{2}y\\ & =1+x^2(\because x=\tan y)\end{array}$$となるので、両辺の逆数をとって$${\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}$$を得ます。

※式変形の途中で関係式$$1+{\tan }^{2}x={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}}$$を使いました。これは関係式 ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ の両辺を${\cos }^{2}x$で割ることで得られます。

 

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【⑥　${\displaystyle \int {\tan }^{-1}xdx}$（$\tan x$ の逆関数の積分）】

$\tan x$ の逆関数の微分（公式⑤）を利用します。部分積分法によって有理関数を作って処理します。

$$\begin{array}{rl}& \int {\tan }^{-1}xdx\\ & =x{\tan }^{-1}x-\int \frac{x}{1+x^2}dx\\ & =x{\tan }^{-1}x-\frac{1}{2}\int \frac{2x}{1+x^2}dx\\ & =x{\tan }^{-1}x-\frac{1}{2}\log |1+x^2|+C\\ & =x{\tan }^{-1}x-\frac{1}{2}\log (1+x^2)+C\end{array}$$

 

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【⑦　${\displaystyle \int {\tan }^{2}xdx}$（おまけ）】

部分積分は使いません。

$$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \int {\tan }^{2}xdx}\\ & ={\displaystyle \int ({\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}}-1)dx}\\ & =\tan x-x+C\end{array}$$

 

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【⑧　${\displaystyle \int {\tan }^{n}xdx}$（$n\geqq 3$）】

$n=3,4,5$ の場合について答えだけ示します。

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \int {\tan }^{3}xdx}& =\frac{1}{2{\cos }^{2}x}+\log |\cos x|+C\\ & =\frac{1}{2}{\tan }^{2}x+\log |\cos x|+C^{\prime }\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \int {\tan }^{4}xdx}& =x-\tan x+\frac{1}{3}{\tan }^{3}x+C\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \int {\tan }^{5}xdx}& =\frac{1}{4{\cos }^{4}x}-\frac{1}{{\cos }^{2}x}-\log |\cos x|+C\\ & =\frac{1}{4}{\tan }^{4}x-\frac{1}{2}{\tan }^{2}x-\log |\cos x|+C^{\prime }\end{array}$$

因みに、奇数次のときは$$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \int {\tan }^{2k+1}xdx}\\ & ={\displaystyle \sum _{j=1}^k(-1{)}^{k-j}{\displaystyle \frac{{\tan }^{2j}x}{2j}}+(-1{)}^{k+1}\log |\cos x|+C}\end{array}$$となり、偶数次のときは$$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \int {\tan }^{2k}xdx}\\ & ={\displaystyle \sum _{j=1}^k(-1{)}^{k-j}{\displaystyle \frac{{\tan }^{2j-1}x}{2j-1}}+(-1{)}^{k}x+C}\end{array}$$となります。これらの結果は積分漸化式を使って示されます。

 

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【⑨　${\displaystyle \frac{d}{dx}}{\tan }^{n}x$（$n\geqq 2$）】

${\tan }^{n}x$ は要するに$(\tan x{)}^n$のことなので、$\tan x$と$x^n$の合成関数と見なせます。これより、微分した結果は中身の微分と外側の微分の積になるので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{d}{dx}}{\tan }^{n}x& ={\displaystyle \frac{d}{dx}}(\tan x{)}^n\\ & =(\tan x{)}^{\prime }\cdot n(\tan x{)}^{n-1}\\ & ={\displaystyle \frac{n{\tan }^{n-1}x}{{\cos }^{2}x}}\end{array}$$と計算できます。

 

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