【数学夏祭り】第7’問（関数方程式）について【2020年夏】

先週まで2週間にわたって開催された「数学夏祭り」第7問の代替問題（第7’問）について解説･考察してみました。

第1問についてはこちらから→【数学夏祭り】第一問（整数問題）の解説【2020年夏】

第4問についてはこちらから→【数学夏祭り】第4問（確率）の面白さについて【2020年夏】

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【数学夏祭り】第７´問

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（数学夏祭り(2020) 第7´問）

 考え方

設定が抽象的であり難易度は高めですが、ステップを追って考えれば実は単純な問題です。

1番目の条件は定義域（$x$の範囲）が実数全体の集合$\mathbb{R}$のうち非負であるような部分集合であること、2番目の条件は$f(x)$の値域が実数全体の集合$\mathbb{R}$のうち非負であることを意味しています。

さらに3番目の条件より、$f(x)$は上記の範囲で逆関数を持つようです。今回与えられている主な式は$$\small f(x)=\left[f^{-1}\left(\sqrt{f(x)}\,\right)\right]+\sqrt{\langle x\rangle} \quad \cdots (*)$$というもので、ここから出発して考えていきます。

$y=f(x)$ と置くと $x=f^{-1}(y)$ となるので、$(*)$より$$\small y=\left[f^{-1}\left(\sqrt{y}\,\right)\right]+\sqrt{\langle f^{-1}(y)\rangle}$$となります。

ここで $y=7.9\,(>0)$ を代入してみると、$$\small 7.9=\left[f^{-1}\left(\sqrt{7.9}\,\right)\right]+\sqrt{\langle f^{-1}(7.9)\rangle}$$ $$\small 7.9=\left[f^{-1}\left(\sqrt{7.9}\,\right)\right]+\sqrt{\langle K\rangle}$$となります。いま、$\small \left[f^{-1}\left(\sqrt{7.9}\,\right)\right]$は整数であり、$\langle x\rangle$ の定義より $\small 0 \leqq \langle K\rangle<1$ が成り立つから明らかに$$\small 0 \leqq \sqrt{\mathstrut \langle K\rangle}<1$$となるので、$7.9$の整数部分が$\small \left[f^{-1}\left(\sqrt{7.9}\,\right)\right]$であり、$7.9$の小数部分が$\sqrt{\langle K\rangle}$となることが分かります。

したがって$$\sqrt{\langle K\rangle}=0.9$$ $$\therefore \langle K\rangle =0.81$$を得ます。

次に $y=7.9^2\,(>0)$ を代入してみると、$$\small 7.9^2=\left[f^{-1}\left(7.9\right)\right]+\sqrt{\langle f^{-1}(7.9^2)\rangle}$$ $$\small 62.41=\left[K\right]+\sqrt{\langle f^{-1}(7.9^2)\rangle}$$となります。いま、$[K]$は整数であり、$\langle x\rangle$ の定義より $\small 0 \leqq \langle f^{-1}(7.9^2)\rangle<1$ が成り立つから明らかに$$\small 0 \leqq \sqrt{\langle f^{-1}(7.9^2)\rangle}<1$$となるので、$62.41$の整数部分が$[K]$であり、$62.41$の小数部分が$\small \sqrt{\langle f^{-1}(7.9^2)\rangle}$となることが分かります。

よって$$[K]=62$$が得られます。

以上より、$$\begin{align} f^{-1}\left(\sqrt{7.9}\,\right)&=K \\ &=[K]+\langle K\rangle \\ &=62+0.81 \\ &=\color{red}{62.81} \end{align}$$と求められます。

 

 逆関数$f^{-1}(x)$のグラフ

上記の方法はオーソドックスなものだと思いますが、これを応用すれば一般の非負実数$x$についても逆関数$f^{-1}(x)$をあらわに与えることができます。

$$\small f(x)=\left[f^{-1}\left(\sqrt{f(x)}\,\right)\right]+\sqrt{\langle x\rangle} \quad \cdots (*)$$という式をもう少し詳しく見ていきましょう。

先ほどの議論と全く同様に$\sqrt{\langle x\rangle}$は$1$未満であることから、$(*)$より$f(x)$の整数部分が$\small \left[f^{-1}\left(\sqrt{f(x)}\,\right)\right]$に一致すること、つまり、$$\left[f(x)\right]=\small \left[f^{-1}\left(\sqrt{f(x)}\,\right)\right] \quad \cdots ①$$が言えて、$f(x)$の小数部分が$\sqrt{\langle x\rangle}$に一致すること、つまり、$$\langle f(x)\rangle=\sqrt{\langle x\rangle} \quad \cdots ②$$が言えます。

ここで、①式において $x=f^{-1}(y^2)$（$y^2=f(x)$ とするのと同じ）とすると、$$\left[y^2\right]=\left[f^{-1}(y)\right] \quad \cdots ③$$を得ます。

また、②式より、両辺正より2乗して$$\langle f(x)\rangle^2=\langle x\rangle$$となり、$x=f^{-1}(y)$ を代入してやると$$\langle y\rangle^2 =\langle f^{-1}(y)\rangle \quad \cdots ④$$を得ます。

よって、③と④より、$$\begin{align} f^{-1}(y)&=[f^{-1}(y)]+\langle f^{-1}(y)\rangle \\ &=\left[y^2\right]+\langle y\rangle^2 \end{align}$$を得るので、変数を$x$にすれば、逆関数$f^{-1}(x)$は$$\color{red}{f^{-1}(x)=\left[x^2\right]+\langle x\rangle^2}$$と表せます。

これをグラフにすると以下の赤線のようになります（灰色の線は $y=x^2\,(x \geqq 0)$ のグラフ）。

今回の問題を解く上では全く気付く必要の無いことですが、実は $k \leqq x<k+1$（$k$は非負整数）の範囲で $y=f^{-1}(x)$ のグラフは $2k+1$ 個の領域に分割されています。

これはデジタル（離散的）なグラフとなる $y=\left[x^2\right]$（青色）を考えれば明らかで、$y=\langle x\rangle^2$ のグラフ（緑色）も描くと以下のようになります。

$x^2$の整数部分を$n$とすると、$$n \leqq x^2 <n+1$$ $$\therefore \sqrt{n}\leqq x <\sqrt{n+1}$$が成り立ちます。つまり、$\sqrt{n}$が整数$k$となるとき $n=k^2$ となり、$\sqrt{n}$が次の整数 $k+1$ となるのは $n=(k+1)^2$ のときであるため、その間にはちょうど$$(k+1)^2-k^2=2k+1$$だけ整数が存在します。

そのため、$y=f^{-1}(x)$ のグラフは $k \leqq x<k+1$ の範囲で $2k+1$ 個の曲線に分割されています。ただし、$x$が整数となる点では $y=f^{-1}(x)$ のグラフは連続になっているので、$y=f^{-1}(x)$ のグラフには $k \leqq x<k+1$（$k \geqq 1$）の範囲に不連続な箇所が $2k-1$ 個あることが分かります。

 

 この問題の作り方

ここまで見てきたように本問では逆関数が先にあり、$f(x)$の形で出題しているのは、わざと題意を分かりにくくするためであると推測できます。実際、$f(x)$を陽関数のようないわゆる「閉じた形」として表示することは困難です。

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先ほど導いた$$f^{-1}(y)=\left[y^2\right]+\langle y\rangle^2 \quad \cdots (**)$$という式から問題文中の$f(x)$の式を導くのはそれほど難しくありません。少しやってみましょう。

$(**)$より、$$f^{-1}(y)-\langle y\rangle^2=\left[y^2\right]$$となるので、右辺が整数であり、$\langle y\rangle^2$が$1$未満であることから、$\langle y\rangle^2$は$f^{-1}(y)$の小数部分であることが分かります。これより、$$\langle y\rangle^2=\langle f^{-1}(y)\rangle$$ $$\therefore \langle y\rangle=\sqrt{\langle f^{-1}(y)\rangle}$$を得ます。

また、$(**)$より$\left[y^2\right]$は$f^{-1}(y)$の整数部分となるので、$$\left[y^2\right]=\left[f^{-1}(y)\right]$$と表せて、$y^2$を$y$で置き換えると$$\left[y\right]=\left[f^{-1}(\sqrt{y})\right]$$を得ます（ここで問題文中の条件1、2が効いてくる）。

したがって、$$\begin{align} y&=\left[y\right]+\langle y\rangle \\ &=\left[f^{-1}(\sqrt{y})\right]+\sqrt{\langle f^{-1}(y)\rangle} \end{align}$$となるから、これに $y=f(x)$ を代入して$$\small f(x)=\left[f^{-1}\left(\sqrt{f(x)}\,\right)\right]+\sqrt{\left\langle f^{-1}\left(f(x)\right)\right\rangle}$$ $$\small \therefore \color{red}{f(x)=\left[f^{-1}\left(\sqrt{f(x)}\,\right)\right]+\sqrt{\left\langle x\right\rangle}}$$が得られます。

･･･という訳で、出題サイドとしては関数$$y=\left[x^2\right]+\langle x\rangle^2$$を題材に、少し捻って出題した、といった所だと思います。

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