【整式の割り算】剰余の定理の使いどころ

これより、余りは $\color{red}{6x-1}$ と求められる。

整式を2次式で割った余りは1次以下の整式となるから、これを $ax+b$ と置き、商を$Q(x)$をすれば$$\begin{align} & \quad 3x^5-x^4+2x^3+x^2+5x+1 \\ &=(x^2+1)Q(x)+(ax+b) \quad \cdots (*) \end{align}$$と表せる。

ここで、方程式 $x^2+1=0$ の解は $x= \pm\,i$ なので、これらの値を$(*)$に代入する。$x=i$ とすると $-1+6i$、$x=-i$ とすると $-1-6i$ となるから、$$\begin{cases} ai+b =-1+6i \\ a(-i)+b =-1-6i \end{cases}$$が成り立つ。この連立方程式を解いて $a=6$、$b=-1$ を得るので、求める整式は $\color{red}{6x-1}$ である。

整式を2次式で割った余りは1次以下の整式となるから、これを $ax+b$ と置き、商を$Q(x)$をすれば$$3x^{25}+1 =(x^2-1)Q(x)+ax+b \quad \cdots (*)$$と表せる。

ここで、方程式 $x^2-1=0$ の解は $x= \pm\,1$ なので、これらの値を$(*)$に代入する。$x=1$ とすると $4$、$x=-1$ とすると $-2$ となるから、$$\begin{cases} a+b =4 \\ -a+b =-2 \end{cases}$$が成り立つ。この連立方程式を解いて $a=3$、$b=1$ を得るので、求める整式は $\color{red}{3x+1}$ である。

整式を2次式で割った余りは1次以下の整式となるから、これを $ax+b$ と置き、商を$Q(x)$をすれば$$x^n+x^{n-1}+1 =(x^2-1)Q(x)+ax+b \quad \cdots (*)$$と表せる。

ここで、方程式 $x^2-1=0$ の解は $x= \pm\,1$ なので、これらの値を$(*)$に代入する。$x=1$ とすると$$1^n+1^{n-1}+1=3$$となり、$x=-1$ とすると$$(-1)^n+(-1)^{n-1}+1=(-1+1)(-1)^{n-1}=1$$となるから、$$\begin{cases} a+b =3 \\ -a+b =1 \end{cases}$$が成り立つ。この連立方程式を解いて $a=1$、$b=2$ を得るので、求める整式は $\color{red}{x+2}$ である。

整式を2次式で割った余りは1次以下の整式となるから、これを $ax+b$ と置き、商を$Q(x)$をすれば$$x^n+2x^{n-1}+1 =(x^2-1)Q(x)+ax+b \quad \cdots ①$$と表せる。

ここで、方程式 $x^2-1=0$ の解は $x= \pm\,1$ なので、これらの値を$①$に代入する。$x=1$ とすると$$1^n+2 \cdot 1^{n-1}+1=4$$となり、$x=-1$ とすると$$(-1)^n+2(-1)^{n-1}+1 \quad \cdots ②$$となる。

（ア）$n$が偶数のとき、$②$は$0$となるから$$\begin{cases} a+b =4 \\ -a+b =0 \end{cases}$$が成り立つ。この連立方程式を解いて $a=b=2$ を得るので、求める整式は $\color{red}{2x+2}$ である。

（イ）$n$が奇数のとき、$②$は$2$となるから$$\begin{cases} a+b =4 \\ -a+b =2 \end{cases}$$が成り立つ。この連立方程式を解いて $a=1$、$b=3$ を得るので、求める整式は $\color{red}{x+3}$ である。

整式を2次式で割った余りは1次以下の整式となるから、これを $ax+b$ と置き、商を$Q(x)$をすれば$$x^5-x^2+1 =(x-1)^2 Q(x)+ax+b \quad \cdots (*)$$と表せる。また、$(*)$の両辺を$x$で微分すると$$5x^4-2x =2(x-1) Q(x)+a \quad \cdots (**)$$を得る。

そこで $x=1$ を$(*)$および$(**)$に代入すると、$$\begin{cases} a+b =1 \\ a =3 \end{cases}$$となる。この連立方程式を解いて $a=3$、$b=-2$ を得るので、求める整式は $\color{red}{3x-2}$ である。

まず$$x^2-2x+1=(x-1)^2$$であることに注意する。二項定理より、$$\begin{aligned} (x+1)^{n}&=\{(x-1)+2\}^{n} \\ &= \color{purple}{{}_{n}\mathrm{C}_{0}(x-1)^{n}+{}_{n}\mathrm{C}_{1}(x-1)^{n-1} \cdot 2+\cdots} \\
& \color{purple}{\quad \cdots+{}_{n}\mathrm{C}_{n-2}(x-1)^{2} \cdot 2^{n-2}} \\
& \quad \quad +{}_{n}\mathrm{C}_{n-1}(x-1) \cdot 2^{n-1}+{}_{n}\mathrm{C}_{n} 2^{n} \end{aligned}$$となる。この紫色部分はすべて$(x-1)^2$を因数に含むから、整式 $(x+1)^n$ を $x^2-2x+1$ で割った余りは$${}_{n}\mathrm{C}_{n-1}(x-1) \cdot 2^{n-1}+{}_{n}\mathrm{C}_{n} 2^{n}$$すなわち$$\color{red}{n \cdot 2^{n-1} x-(n-2) 2^{n-1}}$$と求められる。