関数の微分法則（積・商・和・合成関数の微分）とその導出法を一覧にしました！基本的な内容ですが微分の根幹に関わる内容であり、AO入試では時々証明が出題されることもあります。要点をしっかり押さえておきたいですね。
和の微分法則の証明
和 $F(x)=f(x)+g(x)$ の導関数は次のように導かれる。
$$\small \begin{aligned}
& \ \quad (f(x)+g(x))^{\prime} \\
&=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h}\\
&=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x)}{h} \\
&=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\lim _{h \rightarrow 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} \\
&=f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)
\end{aligned}$$※係数が付いていても同様の形で証明できるので、微分の線形性も同様に証明可能である。
積の微分法則の証明
積 $F(x)=f(x)g(x)$ の導関数は次のように導かれる。
$\small \displaystyle {\begin{aligned}& \ \quad F'(x) \\
&=\lim _{h\to 0}{\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}\\
&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}}\\
&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)g(x+h)\color{red}{-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)}-f(x)g(x)}{h}}\\
&=\lim _{h\to 0}{\frac {{\big [}f(x+h)-f(x){\big ]}\cdot g(x+h)+f(x)\cdot {\big [}g(x+h)-g(x){\big ]}}{h}}\\
&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\cdot \lim _{h\to 0}g(x+h) \\ &\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad +\lim _{h\to 0}f(x)\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\\
&=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).\end{aligned}}$
※$\displaystyle \lim _{h\to 0}g(x+h)=g(x)$ は関数の連続性により保証される。
商の微分法則の証明
商 $F(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ の導関数は次のように導かれる。
$$\small \displaystyle {\begin{aligned}&\ \ \ \ \ F'(x) \\
&=\lim _{h\to 0}{\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}\\
&=\lim _{h\to 0}{\frac {{\frac {f(x+h)}{g(x+h)}}-{\frac {f(x)}{g(x)}}}{h}}\\
&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)}{h\cdot g(x)g(x+h)}}\\
&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)}{h}}\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {1}{g(x)g(x+h)}}\\
&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)g(x)\color{red}{-f(x)g(x)+f(x)g(x)}-f(x)g(x+h)}{h}}\cdot {\frac {1}{g(x)^{2}}}\\
&=\left(\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)g(x)-f(x)g(x)}{h}}\right. \\ &\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \left.-\lim _{h\to 0}{\frac {f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}}\right)\cdot {\frac {1}{g(x)^{2}}}\\
&=\left(g(x)\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right. \\ &\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \left.-f(x)\lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right)\cdot {\frac {1}{g(x)^{2}}}\\
&={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}\end{aligned}}$$
合成関数の微分法則（連鎖律）の証明
合成関数 $f \circ g(x)=f(g(x))$ の導関数は次のように導かれる。
$y=g(x)$ が微分可能で $z=f(y)$ が $y=g(x)$ の値域で微分可能ならば、
$$\small \lim _{h \to 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h}=\frac{d y}{d x}$$ $$\small \lim _{k \to 0} \frac{f(y+k)-f(y)}{k}=\frac{d z}{d y}$$であるから、$\small g(x+h)-g(x)=\left(\dfrac{d y}{d x}+\varepsilon_{1}\right) h=k$ と置くと、$h \to 0$ のとき $\varepsilon_{1} \to 0$、$\small f(y+k)-f(y)=\left(\dfrac{d z}{d y}+\varepsilon_{2}\right) k$ と置くと、$k \to 0$ のとき $\varepsilon_{2} \to 0$ である。これより、$$\small \therefore \quad f(y+k)-f(y)=\left(\frac{d z}{d y}+\varepsilon_{2}\right)\left(\frac{d y}{d x}+\varepsilon_{1}\right) h$$を得る。$h \to 0$ のとき $k \to 0$ となるので、$h \to 0$ のとき $\varepsilon_{1} \to 0$ かつ $\varepsilon_{2} \to 0$ となる。
よって$$\small \dfrac{d z}{d x}=\lim _{h \to 0} \dfrac{f(y+k)-f(y)}{h}=\dfrac{d z}{d y} \cdot \dfrac{d y}{d x}$$が成り立つ。したがって$$\small (f(g(x)))^{\prime}=f^{\prime}(y) g^{\prime}(x)=f^{\prime}(g(x)) g^{\prime}(x)$$が導かれる。