ケンブリッジ大学の入試数学を解説する（STEP2019 MATH1 §A p1）

解答例

 the coordinates of the points $X$ and $Y$

定点 $(1,k)$ を通り、勾配が $-\tan \theta$ であるような直線 $l$ の方程式は$$l:y=-\tan \theta \cdot x+k+\tan \theta$$となる。よって$x$切片および$y$切片は $x={\displaystyle \frac{k}{\tan \theta }}+1$、$y=k+\tan \theta$ となるから、点 $X$ および $Y$ の座標は$$X({\displaystyle \frac{k}{\tan \theta }}+1,0),Y(0,k+\tan \theta )$$と求められる。

（ⅰ）

三角形 $OXY$ の面積 $A$ は$$\begin{array}{rl}A& ={\displaystyle \frac{1}{2}}\times OX\times OY\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{k}{\tan \theta }}+1)(k+\tan \theta )\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}\tan \theta +{\displaystyle \frac{k^2}{2\tan \theta }}+k\end{array}$$

いま、$\tan \theta >0$ であるから相加･相乗平均の不等式より、$$\begin{array}{rl}A& ={\displaystyle \frac{1}{2}}\tan \theta +{\displaystyle \frac{k^2}{2\tan \theta }}+k\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}(\tan \theta +{\displaystyle \frac{k^2}{\tan \theta }})+k\\ & \geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 2\sqrt{\tan \theta \cdot {\displaystyle \frac{k^2}{\tan \theta }}}+k\\ & \geqq 2k\end{array}$$等号が成立するのは$\tan \theta ={\displaystyle \frac{k^2}{\tan \theta }}$、すなわち、$$\tan \theta =k$$のときである。$0<\theta <{\displaystyle \frac{1}{2}}\pi$ であるから $\tan \theta$ は任意の正の実数値をとる。よって任意の $k(>0)$ に対して $\tan \theta =k$ となる $\theta$ が存在するから、最小値 $2k$ は必ず存在する。

（ⅱ）

三角形 $OXY$ の外周の長さ$L$が$$L=1+\tan \theta +{\displaystyle \frac{1}{\cos \theta }}+k(1+{\displaystyle \frac{1}{\tan \theta }}+{\displaystyle \frac{1}{\sin \theta }})$$で与えられることを示す。

$$\{\begin{array}{l}OX={\displaystyle \frac{k}{\tan \theta }}+1\\ OY=k+\tan \theta \\ \begin{array}{rl}XY& =\sqrt{O{X}^2+O{Y}^2}\\ & =\sqrt{{({\displaystyle \frac{k}{\tan \theta }}+1)}^2+{(k+\tan \theta )}^2}\\ & =\sqrt{k^2({\displaystyle \frac{1}{{\tan }^2\theta }}+1)+2k({\displaystyle \frac{1}{\tan \theta }}+\tan \theta )+({\tan }^2\theta +1)}\\ & =\sqrt{{\displaystyle \frac{k^2}{{\sin }^2\theta }}+{\displaystyle \frac{2k}{\sin \theta \cos \theta }}+{\displaystyle \frac{1}{{\cos }^2\theta }}}\\ & =\sqrt{{({\displaystyle \frac{k}{\sin \theta }}+{\displaystyle \frac{1}{\cos \theta }})}^2}\\ & ={\displaystyle \frac{k}{\sin \theta }}+{\displaystyle \frac{1}{\cos \theta }}\end{array}\end{array}$$より、三角形 $OXY$ の外周の長さ $L$ $(=OX+OY+XY)$ は$$L=1+\tan \theta +{\displaystyle \frac{1}{\cos \theta }}+k(1+{\displaystyle \frac{1}{\tan \theta }}+{\displaystyle \frac{1}{\sin \theta }})$$で与えられる。

また、$L$ を $\theta$ の関数 $L(\theta )$ と見なすと、$$\begin{array}{rl}{L}^{\prime }(\theta )& ={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^2\theta }}+{\displaystyle \frac{\sin \theta }{{\cos }^2\theta }}-{\displaystyle \frac{k}{{\sin }^2\theta }}-{\displaystyle \frac{k\cos \theta }{{\sin }^2\theta }}\\ & ={\displaystyle \frac{{\sin }^2\theta +{\sin }^3\theta -k({\cos }^2\theta +{\cos }^3\theta )}{{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta }}\end{array}$$となる。

よって関数 $L(\theta )$ の増減は$${\sin }^2\theta +{\sin }^3\theta -k({\cos }^2\theta +{\cos }^3\theta )=0$$を満たす$\theta$の前後で変化する。この等式を整理すると、$$\therefore {\displaystyle \frac{{\sin }^2\theta +{\sin }^3\theta }{{\cos }^2\theta +{\cos }^3\theta }}=k$$ $$\therefore {\displaystyle \frac{{\sin }^2\theta (1+\sin \theta )}{{\cos }^2\theta (1+\cos \theta )}}=k$$ $$\therefore {\displaystyle \frac{(1-{\cos }^2\theta )(1+\sin \theta )}{(1-{\sin }^2\theta )(1+\cos \theta )}}=k$$ $$\therefore {\displaystyle \frac{1-\cos \theta }{1-\sin \theta }}=k$$となる。ここで、角 $\theta =\alpha$ はこれを満たすから、$${\displaystyle \frac{1-\cos \alpha }{1-\sin \alpha }}=k$$を満たす角 $\theta =\alpha$ のときに$L$ は最小値をとる。

よって最小値は$$\begin{array}{rl}& 1+\tan \alpha +{\displaystyle \frac{1}{\cos \alpha }}+{\displaystyle \frac{1-\cos \alpha }{1-\sin \alpha }}(1+{\displaystyle \frac{1}{\tan \alpha }}+{\displaystyle \frac{1}{\sin \alpha }})\\ & =1+{\displaystyle \frac{\sin \alpha +1}{\cos \alpha }}+{\displaystyle \frac{1-\cos \alpha }{1-\sin \alpha }}(1+{\displaystyle \frac{\cos \alpha +1}{\sin \alpha }})\\ & =1+{\displaystyle \frac{\sin \alpha +1}{\cos \alpha }}+{\displaystyle \frac{1-\cos \alpha }{1-\sin \alpha }}+{\displaystyle \frac{1-{\cos }^2\alpha }{\sin \alpha (1-\sin \alpha )}}\\ & =1+{\displaystyle \frac{(1-{\sin }^2\alpha )+\cos \alpha (1-\cos \alpha )}{\cos \alpha (1-\sin \alpha )}}+{\displaystyle \frac{\sin \alpha }{1-\sin \alpha }}\\ & =1+{\displaystyle \frac{1}{1-\sin \alpha }}+{\displaystyle \frac{\sin \alpha }{1-\sin \alpha }}\\ & ={\displaystyle \frac{2}{1-\sin \alpha }}\end{array}$$と求められる。