下1桁や最高位以外の数字がゾロ目となる形の素数は「Near-repdigit素数」と呼ばれます。今回は下1桁だけが異なるNear-repdigit素数に関するメモです。
下1桁が1の場合
・$a_n=\underbrace{111 \cdots 11}_{n\text{個}}1$ の場合（$n \leqq 100$）
$a_{1}$ は素数
$a_{18}$ は素数
$a_{22}$ は素数
☞ レピュニット数 $111 \cdots 111$ について興味がある方はこちらの記事もオススメです。
※ $a_{22}$の次に素数となるのは$a_{316}$です。
・$a_n=\underbrace{222 \cdots 22}_{n\text{個}}1$ の場合（$n \leqq 100$）
$a_{3}$ は素数
$a_{17}$ は素数
$a_{99}$ は素数
・$a_n=\underbrace{333 \cdots 33}_{n\text{個}}1$ の場合（$n \leqq 100$）
$a_{1}$ は素数
$a_{2}$ は素数
$a_{3}$ は素数
$a_{4}$ は素数
$a_{5}$ は素数
$a_{6}$ は素数
$a_{7}$ は素数
$a_{17}$ は素数
$a_{39}$ は素数
$a_{49}$ は素数
$a_{59}$ は素数
$a_{77}$ は素数
$a_{100}$ は素数
※ $a_{7}$ までは素数なのに$$a_8=333333331=17 \times 19607843$$と合成数となることが時々ネタにされることがあります。
・$a_n=\underbrace{444 \cdots 44}_{n\text{個}}1$ の場合（$n \leqq 100$）
$a_{1}$ は素数
$a_{3}$ は素数
$a_{10}$ は素数
$a_{27}$ は素数
$a_{54}$ は素数
$a_{93}$ は素数
※ $a_{93}$の次に素数となるのは$a_{474}$です。
・$a_n=\underbrace{555 \cdots 55}_{n\text{個}}1$ の場合（$n \leqq 100$）
$a_{11}$ は素数
$a_{12}$ は素数
※ $a_{12}$の次に素数となるのは$a_{608}$です。その先に表れる素数は $n \leqq 50000$ の範囲で探索されていますが2020年9月現在でも未発見です。
・$a_n=\underbrace{666 \cdots 66}_{n\text{個}}1$ の場合（$n \leqq 100$）
$a_{17}$ は素数
$a_{20}$ は素数
$a_{21}$ は素数
$a_{27}$ は素数
$a_{42}$ は素数
$a_{65}$ は素数
・$a_n=\underbrace{777 \cdots 77}_{n\text{個}}1$ の場合（$n \leqq 100$）
$a_{1}$ は素数
$a_{12}$ は素数
$a_{19}$ は素数
$a_{22}$ は素数
$a_{30}$ は素数
$a_{99}$ は素数
・$a_n=\underbrace{888 \cdots 88}_{n\text{個}}1$ の場合（$n \leqq 100$）
$a_{2}$ は素数
$a_{18}$ は素数
$a_{78}$ は素数
・$a_n=\underbrace{999 \cdots 99}_{n\text{個}}1$ の場合（$n \leqq 100$）
$a_{2}$ は素数
$a_{4}$ は素数
$a_{6}$ は素数
$a_{32}$ は素数
$a_{44}$ は素数
下1桁が3の場合
・$a_n=\underbrace{111 \cdots 11}_{n\text{個}}3$ の場合（$n \leqq 100$）
$a_{1}$ は素数
$a_{2}$ は素数
$a_{4}$ は素数
$a_{8}$ は素数
$a_{10}$ は素数
$a_{23}$ は素数
$a_{83}$ は素数
・$a_n=\underbrace{222 \cdots 22}_{n\text{個}}3$ の場合（$n \leqq 100$）
$a_{1}$ は素数
$a_{2}$ は素数
$a_{4}$ は素数
$a_{7}$ は素数
$a_{10}$ は素数
$a_{35}$ は素数
$a_{94}$ は素数
$a_{100}$ は素数
・$a_n=\underbrace{444 \cdots 44}_{n\text{個}}3$ の場合（$n \leqq 100$）
$a_{1}$ は素数
$a_{2}$ は素数
$a_{5}$ は素数
$a_{8}$ は素数
$a_{11}$ は素数
$a_{29}$ は素数
$a_{31}$ は素数
・$a_n=\underbrace{555 \cdots 55}_{n\text{個}}3$ の場合（$n \leqq 100$）
$a_{1}$ は素数
$a_{7}$ は素数
$a_{25}$ は素数
$a_{65}$ は素数
$a_{73}$ は素数
・$a_n=\underbrace{777 \cdots 77}_{n\text{個}}3$ の場合（$n \leqq 100$）
$a_{1}$ は素数
$a_{2}$ は素数
$a_{4}$ は素数
$a_{8}$ は素数
$a_{11}$ は素数
$a_{14}$ は素数
$a_{20}$ は素数
※ $a_{20}$の次に素数となるのは$a_{263}$です。
・$a_n=\underbrace{888 \cdots 88}_{n\text{個}}3$ の場合（$n \leqq 100$）
$a_{1}$ は素数
$a_{2}$ は素数
$a_{4}$ は素数
$a_{7}$ は素数
$a_{8}$ は素数
$a_{14}$ は素数
$a_{50}$ は素数
$a_{70}$ は素数
$a_{76}$ は素数
下1桁が7の場合
・$a_n=\underbrace{111 \cdots 11}_{n\text{個}}7$ の場合（$n \leqq 100$）
$a_{1}$ は素数
$a_{3}$ は素数
$a_{4}$ は素数
$a_{7}$ は素数
$a_{22}$ は素数
$a_{28}$ は素数
$a_{39}$ は素数
・$a_n=\underbrace{222 \cdots 22}_{n\text{個}}7$ の場合（$n \leqq 100$）
$a_{2}$ は素数
$a_{8}$ は素数
$a_{14}$ は素数
$a_{27}$ は素数
$a_{63}$ は素数
※ $a_{63}$の次に素数となるのは$a_{1167}$です。
・$a_n=\underbrace{333 \cdots 33}_{n\text{個}}7$ の場合（$n \leqq 100$）
$a_{1}$ は素数
$a_{2}$ は素数
$a_{5}$ は素数
$a_{45}$ は素数
※ $a_{45}$の次に素数となるのは$a_{393}$です。
・$a_n=\underbrace{444 \cdots 44}_{n\text{個}}7$ の場合（$n \leqq 100$）
$a_{1}$ は素数
$a_{3}$ は素数
$a_{9}$ は素数
$a_{19}$ は素数
$a_{25}$ は素数
※ $a_{25}$の次に素数となるのは$a_{721}$です。
・$a_n=\underbrace{555 \cdots 55}_{n\text{個}}7$ の場合（$n \leqq 100$）
$a_{2}$ は素数
$a_{3}$ は素数
$a_{5}$ は素数
$a_{9}$ は素数
$a_{14}$ は素数
$a_{21}$ は素数
$a_{87}$ は素数
・$a_n=\underbrace{666 \cdots 66}_{n\text{個}}7$ の場合（$n \leqq 100$）
$a_{1}$ は素数
$a_{5}$ は素数
$a_{7}$ は素数
$a_{8}$ は素数
$a_{10}$ は素数
$a_{19}$ は素数
$a_{22}$ は素数
$a_{40}$ は素数
$a_{62}$ は素数
$a_{65}$ は素数
・$a_n=\underbrace{888 \cdots 88}_{n\text{個}}7$ の場合（$n \leqq 100$）
$a_{2}$ は素数
$a_{3}$ は素数
$a_{5}$ は素数
$a_{8}$ は素数
$a_{11}$ は素数
$a_{71}$ は素数
・$a_n=\underbrace{999 \cdots 99}_{n\text{個}}7$ の場合（$n \leqq 100$）
$a_{1}$ は素数
$a_{2}$ は素数
$a_{16}$ は素数
※ $a_{16}$の次に素数となるのは$a_{139}$です。
下1桁が9の場合
・$a_n=\underbrace{111 \cdots 11}_{n\text{個}}9$ の場合（$n \leqq 100$）
$a_{1}$ は素数
$a_{4}$ は素数
$a_{5}$ は素数
$a_{7}$ は素数
$a_{16}$ は素数
$a_{49}$ は素数
※ $a_{49}$の次に素数となるのは$a_{683}$です。
・$a_n=\underbrace{222 \cdots 22}_{n\text{個}}9$ の場合（$n \leqq 100$）
$a_{1}$ は素数
$a_{2}$ は素数
$a_{4}$ は素数
$a_{13}$ は素数
※ $a_{13}$の次に素数となるのは$a_{175}$です。
・$a_n=\underbrace{444 \cdots 44}_{n\text{個}}9$ の場合（$n \leqq 100$）
$a_{2}$ は素数
$a_{4}$ は素数
$a_{5}$ は素数
$a_{47}$ は素数
・$a_n=\underbrace{555 \cdots 55}_{n\text{個}}9$ の場合（$n \leqq 100$）
$a_{1}$ は素数
$a_{7}$ は素数
$a_{11}$ は素数
$a_{17}$ は素数
$a_{25}$ は素数
$a_{31}$ は素数
※ $a_{31}$の次に素数となるのは$a_{137}$です。
・$a_n=\underbrace{777 \cdots 77}_{n\text{個}}9$ の場合（$n \leqq 100$）
$a_{1}$ は素数
$a_{65}$ は素数
$a_{85}$ は素数
$a_{89}$ は素数
・$a_n=\underbrace{888 \cdots 88}_{n\text{個}}9$ の場合（$n \leqq 100$）
$a_{1}$ は素数
$a_{13}$ は素数
$a_{34}$ は素数
※ $a_{34}$の次に素数となるのは$a_{4174}$です。
（コメント）
一の位の数字が$j$でその他の位の数字が$k$の $n+1$ 桁の整数は$$\begin{align} a_{n}&=\dfrac{k(10^{n+1}-1)}{9}-(k-j) \\ &=\dfrac{10k(10^{n}-1)}{9}+j \end{align}$$と表せます。これはレピュニット（repunit）数 $R_n=\underbrace{111 \cdots 111}_{n\text{個}}=\dfrac{10^{n}-1}{9}$ を使うと$$a_{n}=10k \cdot R_n+j$$となります。
一般に、この形の整数がどのような素因数を持つかは自明ではありません。ただし、ある素因数が周期的に現れるなどの現象は確認できます。例えば $\underbrace{999 \cdots 99}_{n\text{個}}1$ は$n$を$6$で割った余りが$1$のとき$7$と$13$の倍数となる（$91$で割り切れる）などが確かめられます。