タンジェントtan(x)を導関数の定義を用いて微分する方法

タンジェントを導関数の定義を用いて微分する方法を紹介します。意外と詰まる人が多いかもしれないと思い、取り上げてみます。

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まずは導関数の定義を確認しておきましょう。「導関数」の概念は数Ⅱの範囲であり、昔のセンター試験の数ⅡBに出題されたこともあります。

この式を出発点として、関数の「微分」という操作が定義されます。$\tan x$ を微分するにはもう一つ、$${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\tan x}{x}}=1}$$という関係式を証明する必要がありますが、これは$\sin$の極限$${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\sin x}{x}}=1}$$から証明できます。この証明は「【数Ⅲ】三角関数の極限公式の証明」の記事に記載しているので、参考にして下さい。

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$\tan$の加法定理より、$$\tan (x+h)=\frac{\tan x+\tan h}{1-\tan x\tan h}$$が成立します。これより、$$\begin{array}{rl}& \tan (x+h)-\tan x\\ =& \frac{\tan x+\tan h-\tan x+{\tan }^{2}x\tan h}{1-\tan x\tan h}\\ =& \frac{\tan h(1+{\tan }^{2}x)}{1-\tan x\tan h}\end{array}$$となるので、$$\begin{array}{rl}(\tan x{)}^{\prime }& =\underset{h\to 0}{lim}\frac{\tan (x+h)-\tan x}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{\tan h}{h}\cdot \frac{1+{\tan }^{2}x}{1-\tan x\tan h}\\ & =1\cdot \frac{1\cdot +{\tan }^{2}x}{1-\tan x\cdot 0}\\ & =1+{\tan }^{2}x\\ & =1+\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}\\ & =\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}\\ & =\frac{1}{{\cos }^{2}x}\end{array}$$を得ます。これにより、$$(\tan x{)}^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}}$$が導かれます。

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また、$\tan$の加法定理を使わずに示すこともできます。$$\begin{array}{rl}& \tan (x+h)-\tan x\\ & ={\displaystyle \frac{\sin (x+h)}{\cos (x+h)}}-{\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x}}\\ & ={\displaystyle \frac{\sin (x+h)\cos x-\cos (x+h)\sin x}{\cos (x+h)\cos x}}\\ & ={\displaystyle \frac{\sin (x+h-x)}{\cos (x+h)\cos x}}(\because \sin \text{の加法定理})\\ & ={\displaystyle \frac{\sin h}{\cos (x+h)\cos x}}\end{array}$$より、$$\begin{array}{rl}(\tan x{)}^{\prime }& =\underset{h\to 0}{lim}\frac{\tan (x+h)-\tan x}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{\sin h}{h}\cdot {\displaystyle \frac{1}{\cos (x+h)\cos x}}\\ & =1\cdot {\displaystyle \frac{1}{\cos (x+0)\cos x}}\\ & =\frac{1}{{\cos }^{2}x}\end{array}$$を得ます。

式変形の途中で$\sin$の加法定理を用いました。この方法によれば$\tan$の加法定理を覚えていなくても導出できます。

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よく$\tan$の加法定理を忘れてしまったから導けない、という人を見掛けますが、この証明には$\tan$の加法定理が必須という訳ではありません。このことは覚えておいて良いでしょう。