タンジェントを導関数の定義を用いて微分する方法を紹介します。意外と詰まる人が多いかもしれないと思い、取り上げてみます。
まずは導関数の定義を確認しておきましょう。「導関数」の概念は数Ⅱの範囲であり、昔のセンター試験の数ⅡBに出題されたこともあります。
導関数の定義
$$f^{\prime}(x)=\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
この式を出発点として、関数の「微分」という操作が定義されます。$\tan x$ を微分するにはもう一つ、$$\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{\tan x}{x}=1$$という関係式を証明する必要がありますが、これは$\sin$の極限$$\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin x}{x}=1$$から証明できます。この証明は「【数Ⅲ】三角関数の極限公式の証明」の記事に記載しているので、参考にして下さい。
$\tan$の加法定理より、$$\tan (x+h)=\frac{\tan x+\tan h}{1-\tan x \tan h}$$が成立します。これより、$$\begin{aligned}
& \tan (x+h)-\tan x \\
=& \frac{\tan x+\tan h-\tan x+\tan ^{2} x \tan h}{1-\tan x \tan h} \\
=& \frac{\tan h \left(1+\tan ^{2} x\right)}{1-\tan x \tan h}
\end{aligned}$$となるので、$$\begin{aligned}
(\tan x)^{\prime} &=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\tan (x+h)-\tan x}{h} \\
&=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\tan h }{h} \cdot \frac{1+\tan ^{2} x}{1-\tan x \tan h } \\
&=1 \cdot \frac{1 \cdot+\tan ^{2} x}{1-\tan x \cdot 0} \\
&=\color{red}{1+\tan ^{2} x} \\
&=1+\frac{\sin ^{2} x}{\cos ^{2} x} \\
&=\frac{\cos ^{2} x+\sin ^{2} x}{\cos ^{2} x} \\
&=\color{red}{\frac{1}{\cos ^{2} x}}
\end{aligned}$$を得ます。これにより、$$(\tan x)^{\prime}=\dfrac{1}{\cos^2 x}$$が導かれます。
また、$\tan$の加法定理を使わずに示すこともできます。$$\begin{aligned}
& \quad \, \tan (x+h)-\tan x \\
& =\dfrac{\sin (x+h)}{\cos (x+h)}-\dfrac{\sin x}{\cos x} \\
& =\dfrac{\sin (x+h)\cos x-\cos (x+h)\sin x}{\cos (x+h)\cos x} \\
& =\dfrac{\sin (x+h-x)}{\cos (x+h)\cos x} \,\,\, (\because \sin \text{の加法定理}) \\
& =\dfrac{\sin h}{\cos (x+h)\cos x}
\end{aligned}$$より、$$\begin{aligned}
(\tan x)^{\prime} &=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\tan (x+h)-\tan x}{h} \\
&=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sin h }{h} \cdot \dfrac{1}{\cos (x+h)\cos x} \\
&=1 \cdot \dfrac{1}{\cos (x+0)\cos x} \\
&=\color{red}{\frac{1}{\cos ^{2} x}}
\end{aligned}$$を得ます。
式変形の途中で$\sin$の加法定理を用いました。この方法によれば$\tan$の加法定理を覚えていなくても導出できます。
よく$\tan$の加法定理を忘れてしまったから導けない、という人を見掛けますが、この証明には$\tan$の加法定理が必須という訳ではありません。このことは覚えておいて良いでしょう。