チェビシェフ多項式に関する整数問題（2023年京都大学理系数学第6問）

（１）

$$\begin{array}{rl}\cos 3\theta & =\cos (\theta +2\theta )\\ & =\cos \theta \cos 2\theta -\sin \theta \sin 2\theta \\ & =\cos \theta (2{\cos }^2\theta -1)-\sin \theta \cdot 2\sin \theta \cos \theta \\ & =2{\cos }^3\theta -\cos \theta -2{\sin }^2\theta \cos \theta \\ & =2{\cos }^3\theta -\cos \theta -2(1-{\cos }^2\theta )\cos \theta \\ & =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta \end{array}$$

$$\begin{array}{rl}\cos 4\theta & =\cos (2\theta +2\theta )\\ & ={\cos }^{2}2\theta -{\sin }^{2}2\theta \\ & =(2{\cos }^2\theta -1{)}^2-4{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta \\ & =4{\cos }^4\theta -4{\cos }^2\theta +1-4(1-{\cos }^2\theta ){\cos }^2\theta \\ & =8{\cos }^4\theta -8{\cos }^2\theta +1\end{array}$$

（２）

$\theta ={\displaystyle \frac{m}{n}}\cdot \pi$ となるような正の整数$m$、$n$が存在するならば$$n\theta =m\pi$$ $$\therefore \cos n\theta =\cos m\pi =(-1{)}^m$$となる。これより、$\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{p}}$ のとき$$\cos n\theta =(-1{)}^m\cdots (\ast )$$を満たすような整数$n$が存在するか否かを調べればよい。

ここで、正の整数$k$に対して $\cos k\theta =T_k(\cos \theta )$ を満たすような、最高次の係数が$2^{k-1}$で整数の係数をもつ$k$次多項式$T_k(x)$が存在することを数学的帰納法により証明する。

（ア）$l=1$、$l=2$のときは$T_1(x)=x$、$T_2(x)=2x^2-1$ が存在する。

（イ）$l=k$（$k$は正の整数）のとき、$k\ge 3$ として$T_k(x)$および$T_{k-1}(x)$の存在を仮定する。和積の公式から$$\begin{array}{rl}& \cos (k+1)\theta +\cos (k-1)\theta \\ & =2\cos {\displaystyle \frac{(k+1)\theta +(k-1)\theta }{2}}\cos {\displaystyle \frac{(k+1)\theta -(k-1)\theta }{2}}\\ & =2\cos k\theta \cos \theta \end{array}$$より、$$T_{k+1}(x)=2T_k(x)x-T_{k-1}(x)$$が成り立つ。仮定より$T_k(x)$は最高次の係数が$2^{k-1}$で$k$次の多項式、$T_{k-1}(x)$は$k-1$次の多項式であるから、上式より$T_{k+1}(x)$は最高次の係数が$2^k$で$k$次の多項式であることが従う。

以上より多項式$T_k(x)$の存在が示された。したがって、$$T_k(x)=2^{k-1}{x}^k+a_{k-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$$と置ける。これより、$(\ast )$は$$T_n(\cos \theta )=(-1{)}^m$$つまり、$$2^{n-1}{\cos }^n\theta +a_{n-1}{\cos }^{n-1}\theta +\cdots +a_1\cos \theta +a_0=(-1{)}^m$$と表せる。いま、$\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{p}}$ であるから、$${\displaystyle \frac{2^{n-1}}{p^n}}+{\displaystyle \frac{a_{n-1}}{p^{n-1}}}+\cdots +{\displaystyle \frac{a_1}{p}}+a_0=(-1{)}^m$$となり、辺々に$p^n$を乗じて$$2^{n-1}+\underset{―}{a_{n-1}p+\cdots +a_1{p}^{n-1}+a_0{p}^n}=\underset{―}{(-1{)}^m{p}^n}$$を得る。この下線部は$p$の倍数であるから、等式が成り立つためには$2^{n-1}$も$p$の倍数でなければならない。しかし$p$は$3$以上の素数であるからこれは不可能。

よって背理法により、$\theta ={\displaystyle \frac{m}{n}}\cdot \pi$ となるような正の整数$m$、$n$は存在しないことが示された。

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