一橋大学2017年後期第4問

後期第1問目は一橋大学の整数問題です。問題はまたもTwitterから拾わせて頂きました。


《問題》

mn1以上10以下の整数とする。3O(0,0)A(3,4)B(m,n)は同一直線上にないとする。

(1)OAB の面積を最小にするB(m,n)を求めよ。

(2)AOB を最小にするB(m,n)を求めよ。

(一橋大学2017 後期第4問)


《考え方》

(1)は標準レベルの問題です。

OAB=12|4m3n| であり、3点は同一直線上にないから 4m3n0 です。故に |4m3n|=1 のとき OAB の面積は最小となります。4m3n=±1 {m=3k±1n=4k±1 1m101n10 より、(m,n)=(1,1)(2,3)(4,5)(5,7)(7,9)を得ます。

 

(2)ですが、1変数化して微分を使うのかな?・・・と思いきや、(1)が利用できることに気付きました。しかし論理的なミスを誘発しやすい問題なので細心の注意を払う必要があります。

以下、AOB を考えるために取り敢えず sinAOB を考えます(中には cosAOB を考えた人もいると思いますが、これだと(1)の結果が活かせません(多分))。

sinAOB=2OABOAOB=|4m3n|5m2+n2

となり、(1)によれば、ここから

|4m3n|5m2+n215m2+n21572+92=15130

となる・・・ということが言えそうですが、ここで解答を終了してしまうと(多分)0点です!なぜならこれが最小値である保証がどこにも無いからです。分子が最小値を取るときの mn の組が |4m3n|5m2+n2 を最小にするとは限りません。どういうことかというと、|4m3n|1 ではありますが、|4m3n|=1 を満たす mn の組に制約がある(すべての mn の組が |4m3n|=1 を満たす訳ではない)ため、|4m3n|=1 のときではなく例えば |4m3n|=2 のときに |4m3n|5m2+n2 が最小となるかもしれないからです。

 

ここで|4m3n|について少し。

34は互いに素なので、基本的に|4m3n|は任意の正の整数値を取ることができます。「基本的に」というのは、この問題設定では 1m101n10 という制約があるために|4m3n|が取り得る整数値がある程度制約される場合があることを踏まえて言っています。実際、|4m3n|がある正の整数値Nに等しくなるとき、この不定方程式を解いて{m=3k±Nn=4k±Nを得ますから、このような mn の組を構成すれば|4m3n|は任意の正の整数値を取ることができます。まずこのことは理解しておきましょう。

 

さて、先程は15130という値を得ましたが、これは一体何を表しているのでしょう?

・・・それを考える前に点B(m,n)と直線OAとの距離dについて考えておきます。点と直線の距離の公式から、d=|4m3n|32+42=15|4m3n|と求められます。

|4m3n|は任意の正の整数値を取る(さっきお話しした通りです)ので、d152535 という値を取ることが分かりました。

いま、OB=m2+n2ですから、sinAOB=dOB=dm2+n2となります。つまり、先程求めたのは d=15 を満たすような点B(m,n)の集合の中で考えた時のsinAOBの最小値だった訳です。これがアヤシイというなら次に考えるべきなのは d=25 を満たす点B(m,n)の集合の中で考えた時のsinAOBの最小値ですよね。つまり、25m2+n2<15130を満たすような点B(m,n)が存在するのかしないのか、というのが最大の関心事ですから、これを解いてみます。すると、m2+n2<2130 m2+n2>520  ()となりました。ここで、1m101n10という条件を思い出すと、m2+n2はどんなに頑張っても200までの値しか取れません。つまり()を満たすような点B(m,n)は存在しないことが分かりました。これは |4m3n|2 となるすべての場合について言えるので、|4m3n|=1 となるときに最小値を取ることが分かりました。

よって sinAOB の最小値は |4m3n|=1 となるとき、つまり d=15 となるような点Bのうち、(m,n)=(7,9) のときに与えられるので、求める点B(m,n)=(7,9)と決定することが出来ました。めでたしめでたし・・・。


(コメント)

さて、結局(2)答えは15130だったので、十分条件を全く確認しなくても正しい答えは得られてしまっていることになります。このこと、つまり点Aがどこにあっても半直線OAとの距離が最小となる点Bを選べば AOB の最小値が得られることは一般的に成立するのでしょうか・・・?

見た目的に成り立ちそうな気もしますが、これは今後の研究課題ですね・・・。ともかく、(2)は難問とは言わないまでも、試験場で解くには(1)のヒント(?)が無いとなかなか難しい問題だったと思います。

 

因みに(1)で話題にしている OAB の面積の最小値についてですが、格子点からなる三角形の面積の最小値は常に 12 であることが知られています。まあこれは面積公式 12|x1y2x2y1| を考えると自明と言えば自明なのですが・・・。

 

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